Велосипедист и пешеход на круге

Выразите отношение скоростей через моменты старта, окончания первого круга и обгона, затем подумайте, в какую сторону должна сдвинуться каждая из этих величин в пределах своей минуты, чтобы отношение стало наибольшим или наименьшим.

Пусть \(t_1\) — момент старта, \(t_2\) — момент времени, когда Владислав проехал один круг, \(t_3\) — момент обгона. При этом \(t_1 < t_2 < t_3\).

По условию, пешеход прошёл расстояние от старта до момента обгона за время \(t_3 - t_1\); велосипедист же прошёл это же расстояние за время \(t_3 - t_2\). Отношение \(k\) скорости велосипедиста к скорости пешехода равно обратному отношению этих времён: \[k = \frac{t_3 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{1}\] Также данное отношение можно записать как: \[k = 1 + \frac{t_2 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{2}\] Поскольку моменты времени \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\) известны с некоторой погрешностью, исследуем, в каком случае отношение \(k\) будет больше и в каком — меньше. К увеличению \(k\) приводят: уменьшение \(t_1\) (см. первую формулу), увеличение \(t_2\) (см. первую формулу), уменьшение \(t_3\) (см. вторую формулу). К уменьшению \(k\) приводят: увеличение \(t_1\), уменьшение \(t_2\), увеличение \(t_3\) (по тем же формулам).

Следовательно, максимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 15 мин, \(t_2 = 11\) ч 24 мин, \(t_3 = 11\) ч 26 мин. В этом случае \(k = 5{,}5\).

Минимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 16 мин, \(t_2 = 11\) ч 23 мин, \(t_3 = 11\) ч 27 мин. В этом случае \(k = 2{,}75\).