Лампочка на поршне

Объём газа пропорционален \(T/p\), а это котангенс угла наклона прямой от начала координат до точки процесса. Найдите крайние положения поршня, а затем по формуле тонкой линзы — крайние положения изображения; между ними изображение уходит в бесконечность.

Пусть \(a\) — расстояние от лампочки до линзы, \(b\) — расстояние до изображения: \(\dfrac1a + \dfrac1b = \dfrac1F\), \(b = \dfrac{Fa}{a - F}\). При \(a > F\) изображение действительное и уходит вправо в бесконечность при \(a \to F\); при \(a < F\) изображение мнимое и уходит влево. Значит, нужно найти крайние положения лампочки \(a_l\) и \(a_r\).

Из уравнения Клапейрона–Менделеева \(V = \nu RT/p\), т.е. объём пропорционален \(T/p\), а \(T/p\) — котангенс угла наклона линии от начала координат до точки процесса. Наибольший объём — в точке 2 с \(p_2 = p_0 - \Delta p\), \(T_2 = T_0\); наименьший — в точке 1 с \(p_1 = p_0\), \(T_1 = T_0 - \Delta T\), где \(\dfrac{\Delta T}{T_0} = \dfrac{\Delta p}{p_0} = \dfrac1k\) (из подобия треугольников). Тогда \[V_1 = V_0\left(1 - \frac1k\right), \qquad V_2 = \frac{V_0}{1 - \frac1k}.\] Смещения поршня: \(\Delta L_l = \dfrac{L}{k}\) (влево) и \(\Delta L_r = \dfrac{L}{k-1}\) (вправо). Поэтому \(a_l = F + \dfrac{L}{k}\), \(a_r = F - \dfrac{L}{k-1}\). Подставляя в формулу линзы: \[b_1 = \frac{F\,a_l}{a_l - F} = \frac{F(kF + L)}{L}, \qquad b_2 = \frac{F\,a_r}{a_r - F} = -\frac{F\left(F(k-1) - L\right)}{L}.\] Условие \(a_r > 0\), т.е. \(F(k-1) > L\), — лампочка не врезается в линзу, и тогда \(b_2 < 0\).