Бесконечная схема из квадратов

Схема из \(n+1\) квадратов сводится к цепочке, в которой каждый следующий квадрат подключается к уже имеющейся части. Введите безразмерную величину, отношение сопротивления участка к сопротивлению первого звена; для неё получится рекуррентная формула, которую удобно исследовать на предел.

Пусть \(a_k\) — сопротивление сторон квадрата \(k\), \(b_k\) — сопротивление противоположной стороны, так что \(a_k = a_0 2^{k-1}\), \(b_k = 4a_k\). Для одного квадрата \(R_0 = \dfrac{(a_0 + b_0)a_0}{a_0 + b_0 + a_0} = \dfrac34 a_0\), откуда \(a_0 = \dfrac43 R_0\).

Рекуррентные соотношения для сопротивления участка цепи внутри пунктирной рамки: \[S^n_1 = 2a_n + b_n, \qquad S^n_{k+1} = 2a_{n-k} + \frac{b_{n-k}S^n_k}{b_{n-k} + S^n_k}.\] Замена \(S^n_k = a_0 2^{\,n-k+1}p^n_k\) даёт \(p_{k+1} = 1 + \dfrac{2p_k}{1+p_k}\) с \(p_1 = 3\), не зависящее от \(n\). Тогда \(p_1 = 3\), \(p_2 = \dfrac52\), \(p_3 = \dfrac{17}{7}\), \(p_4 = \dfrac{29}{12}\), и для пяти квадратов \(S^4_4 = \dfrac{29}{6}a_0\), откуда \(R_5 = \dfrac{99}{140}a_0 = \dfrac{33}{35}R_0\).

Последовательность \(p_k\) ограничена снизу числом \(1+\sqrt2\) и монотонно убывает, поэтому имеет предел \(p_\infty = 1 + \sqrt2\). Для бесконечной схемы сопротивление по официальному решению равно \(R_\infty = \dfrac{4R_0}{3\sqrt2}\).