Тележка с грузом на пружине

Рассмотрите систему «тележка–пружина–грузик» целиком: работа внешних сил здесь равна нулю, поэтому удобен закон сохранения энергии. Учтите связь между смещениями груза и тележки и момент, когда нить перестаёт быть натянутой.

Пока нить натянута, скорость груза по вертикали и скорость тележки связаны: \(v = u\). Работа внешних сил равна нулю (сила нити на блоке и сила нити на грузе совершают равные по модулю, но противоположные по знаку работы), поэтому \[\frac{kl^2}{2} + mg\,\Delta h = \frac{(M+2m)v^2}{2} + \frac{kx^2}{2},\] где \(x\) — деформация пружины, \(\Delta h\) — смещение груза по вертикали. Сила натяжения нити обращается в нуль, когда \(mg = kx\); тогда тележка сместилась влево на \(L_0 = l + \dfrac{mg}{k}\), и дальше она движется по инерции.

1) Если \(L \le l + \dfrac{mg}{k}\), нить натянута до удара: \(\Delta h = -L\), \(x = l - L\). Отсюда \(v = \sqrt{\dfrac{2klL - kL^2 + 2mgL}{M+2m}}\).

2) Если \(L > l + \dfrac{mg}{k}\), скорость находим в момент смещения \(L_0\): \(\Delta h = -\left(l + \dfrac{mg}{k}\right)\), \(x = \dfrac{mg}{k}\). Тогда \(v = \sqrt{\dfrac{kl^2 + 2mgl + m^2g^2/k}{M+2m}} = \left(l + \dfrac{mg}{k}\right)\sqrt{\dfrac{k}{M+2m}}\). При \(L = l + mg/k\) оба выражения совпадают.