Не забудьте посолить

Каждый фактор даёт своё изменение температуры воды; считайте их отдельно по уравнению теплового баланса и таблицам, затем сложите и найдите время дополнительного нагрева по мощности нагревателя.

1.1) \(\Delta t=\dfrac{c_Cm_C(t_K-t_C)}{c_Bm_B+c_Cm_C}\); 1.2) \(c_C=900\text{ Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{С)}\); 1.3) \(\Delta t_1=0{,}34^\circ\text{С}\), \(\Delta t_2=4{,}8^\circ\text{С}\); 2.1) \(\Delta t_1=0{,}34^\circ\text{С}\), \(\Delta t_2=1{,}5^\circ\text{С}\); 3.1) \(\alpha=8{,}7^\circ\text{С}\); 3.2) \(\Delta t_1=0{,}17^\circ\text{С}\), \(\Delta t_2=2{,}6^\circ\text{С}\); 4.1) \(t_1\approx3\text{ с}\), \(t_2\approx33\text{ с}\).

Часть 1. Фактор первый

1.1 Уравнение теплового баланса:

\[c_B m_B \Delta t = c_C m_C (t_K - \Delta t - t_C)\tag{1}\]

Откуда:

\[\Delta t = \frac{c_C m_C (t_K - t_C)}{c_B m_B + c_C m_C}\tag{2}\]

1.2 Согласно правилу смешения:

\[c(m_B + m_C) = c_B m_B + c_C m_C\tag{3}\]

Разделим обе части уравнения на \(c_B + c_C\) и заметим, что \(\frac{m_C}{m_B + m_C} = \eta\), а \(\frac{m_B}{m_B + m_C} = 1 - \eta\).

Получим:

\[c = c_B (1 - \eta) + c_C \eta = c_B - (c_B - c_C) \eta\tag{4}\]

Таким образом, зависимость удельной теплоемкости раствора от концентрации является линейной с коэффициентом наклона \(k = c_B - c_C\). График зависимости \(c(\eta)\) представлен на рис. 1. Рис. 1. График зависимости \(c(\eta)\) Коэффициент \(k = 3300 \, \text{Дж} / \text{кг}^\circ\text{C}\), откуда \(c_C = 900 \, \text{Дж} / \text{кг}^\circ\text{C}\).

1.3 Изменение температуры воды в первом случае:

\[\Delta t_1 = 0{,}34^\circ\text{C}\tag{5}\]

во втором:

\[\Delta t_2 = 4{,}8^\circ\text{C}\tag{6}\]

Часть 2. Фактор второй

2.1 В таблице не приведены значения удельной теплоты растворения для \(m_{C1} = 20\text{г}\) и \(m_{C2} = 300\text{г}\). Получить необходимые значения можно проведя линейную интерполяцию, т. е. считая что на каждом интервале удельная теплота растворения изменяется линейно:

\[q = a m_C + b\tag{7}\]

Для интервала \((10; 50)\), получим:

\[72{,}3 = 10a + b\tag{8}\]

\[66{,}2 = 50a + b\]

откуда: \(a = -0{,}153 \, \text{кДж} / \text{кг} \cdot \text{г}\), \(b = 73{,}8 \, \text{кДж} / \text{кг}\). Для \(m_{C1} = 20\text{г}\) получаем:

\[q_1 = 20a + b = 70{,}8 \, \text{кДж} / \text{кг}\tag{9}\]

Для \(m_{C2} = 300\text{г}\), интерполяция дает значение:

\[q_2 = 35{,}6\text{кДж/кг}\tag{10}\]

На растворение соли требуется количество теплоты равное \(q\,m_C\). Уравнение теплового баланса:

\[q m_C = (c_B m_B + c_C m_C) \Delta t\tag{11}\]

Откуда, для \(m_{C1} = 20\text{г}\) получаем: \(\Delta t_1 = 0{,}34^\circ\text{C}\) (12) для \(m_{C2} = 300\text{г}\): \(\Delta t_2 = 1{,}5^\circ\text{C}\) (13)

Часть 3. Фактор третий

3.1 Концентрация раствора \(\eta = \frac{m_C}{m_B + m_C} = \frac{1}{1 + \frac{m_C}{m_B}}\), откуда:

\[\frac{m_C}{m_B} = \frac{\eta}{1 - \eta}\tag{14}\]

Дополним таблицу колонками \(\frac{m_C}{m_B}\) и \(\Delta t\).

Таблица 3. Температуры кипения раствора соли

График зависимости \(\Delta t \left( \frac{m_C}{m_B} \right)\) изображен на рис. 2. Коэффициент \(\alpha = 8{,}7^\circ\text{C}\).

3.2 Для \(m_{C1} = 20\text{г}\) получаем: \(\Delta t_1 = 0{,}17^\circ\text{C}\) (15), для \(m_{C2} = 300\text{г}\): \(\Delta t_2 = 2{,}6^\circ\text{C}\) (16).

Часть 4. Когда же снова закипит?

4.1 Для оценки достаточно определить суммарный эффект. Для \(m_{C1} = 20\text{г}\) получаем:

\[\Delta t_{\text{СУММ1}} = 0{,}85^\circ C\tag{17}\]

поэтому вода закипит через время:

\[t_1 = \frac{300c}{80^\circ C} \cdot 0{,}85^\circ C \approx 3c\tag{18}\]

Для \(m_{C2} = 300z\):

\[\Delta t_{\text{СУММ2}} = 8{,}9^\circ C\tag{19}\]

поэтому вода закипит через время:

\[t_1 = \frac{300c}{80^\circ C} \cdot 8{,}9^\circ C \approx 33c\tag{20}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.