Пусковое устройство

Ракета держится силами трения; запишите условие равновесия ракеты и условие равенства моментов относительно оси штанги, а затем потребуйте, чтобы сила трения не превышала \(\mu N\).

1) \(\mu_0=\operatorname{tg}\alpha\); 2) \(m_{\max}=\dfrac{m_0 l_0}{20\,l_1}\); 3) \(F_{\min}=m_0g\) (при такой силе тяги сила трения обращается в нуль).

1. Из условия равновесия ракеты следует, что

\[m_0 g = 4 F_{\text{тр}},\tag{1}\]

где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения между корпусом ракеты и упором держателя. Условие равновесия штанги выполняется при равенстве моментов сил трения (которая по модулю равна силе трения, действующей на корпус ракеты) и силы нормальной реакции \(N\) относительно оси вращения штанги

\[N l_0 \sin \alpha = F_{\text{тр}} l_0 \cos \alpha.\tag{2}\]

При записи этого условия учтено, что моменты сил тяжести и реакции в оси равны нулю. Сила трения покоя не может превышать значения

\[F_{\text{тр}} < \mu N\tag{3}\]

Выражая из уравнения (2) значение силы трения и подставляя его в неравенство (3), получим, что коэффициент трения должен удовлетворять условию \(\mu > \operatorname{tg} \alpha\). То есть минимальное значение коэффициента трения, при котором ракета будет находиться в покое равно

\[\mu_0 = \operatorname{tg} \alpha.\tag{4}\]

Отметим, что это значение не зависит от массы ракеты.

2. При наличии противовесов условие равновесия штанги упора имеет вид

\[m_1 g l_1 \cos \alpha + N l_1 \sin \alpha = F_{\text{тр}} l_0 \cos \alpha.\tag{5}\]

Выразим из этого уравнения значение силы нормальной реакции

\[N = \frac{F_{\text{тр}} l_0 \cos \alpha - m_1 g l_1 \cos \alpha}{l_0 \sin \alpha}\tag{6}\]

и подставим его в неравенство (3)

\[F_{\text{тр}} < \mu \frac{F_{\text{тр}} l_0 \cos \alpha - m_1 g l_1 \cos \alpha}{l_0 \sin \alpha}.\tag{7}\]

Это выражение преобразуется к виду

\[F_{\text{тр}} l_0 (\mu \cos \alpha - \sin \alpha) > \mu m_1 g l_1 \cos \alpha\tag{8}\]

Из уравнения (1) выразим значение силы трения \(F_{\text{тр}} = \frac{m_0 g}{4}\) и подставим его в неравенство (8), решая которое находим:

\[m < \frac{m_0 l_0}{4 l_1} \left( 1 - \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu} \right).\tag{9}\]

Наконец, учитывая, что \(\mu = 1{,}25 \mu_0 = 1{,}25 \operatorname{tg} \alpha\), получим

\[m < \frac{m_0 l_0}{20 l_1}.\tag{10}\]

3. Когда силы тяги двигателей ракеты станет равной силе тяжести ракеты силы трения обратится в нуль. Следовательно, при наличии противовесов любой массы штанги начнут опрокидываться. То есть \(F_{\min} = m_0 g\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.