В этой задаче исследуются колебания теннисного шарика на нитке. Часть 1. В данной части работы следует проводить измерения при постоянном начальном отклонении шарика \(40^\circ\). 1.1. Нить рекомендуется взять такой длины, чтобы расстояние от точки подвеса до центра шарика было 60–70 см. Снимите зависимость времени \(\tau\), за которое амплитуда колебаний уменьшается вдвое, от массы \(m\) шарика (не менее 7 точек). 1.2. Известно, что \(\tau(m) = km^\alpha\), где \(k\), \(\alpha\) — постоянные коэффициенты. Найдите \(k\), \(\alpha\). Часть 2. В данной части работы следует проводить измерения при максимальной массе шарика. Амплитуда колебаний \(A\) — длина дуги окружности между равновесным положением шарика и максимальным отклонением шарика от положения равновесия. 2.1. Снимите зависимость амплитуды колебаний от времени \(t\) при угловом значении амплитуд в диапазоне от \(60^\circ\) до \(20^\circ\) (не менее 7 точек). Рассмотрим результаты двух теорий, описывающие зависимость \(A(t)\): 2

1.2) \(\alpha = 1\), \(k = (1{,}77 \pm 0{,}03)\) с/г. 2.2.1) Ламинарная теория не подтверждается: при \(\eta \approx 2\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с расхождение с условием составляет около двух порядков. 2.2.2) Турбулентная теория подтверждается: \(C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)\), что лежит в заданном интервале.

Затухающие колебания — ВсОШ 2014/15, 10 кл., задача 1

Затухающие колебания
ВсОШ 2014/15, 10 кл.
6/10
В этой задаче исследуются колебания теннисного шарика на нитке.

Часть 1. В данной части работы следует проводить измерения при постоянном начальном отклонении шарика \(40^\circ\).

1.1. Нить рекомендуется взять такой длины, чтобы расстояние от точки подвеса до центра шарика было 60–70 см. Снимите зависимость времени \(\tau\), за которое амплитуда колебаний уменьшается вдвое, от массы \(m\) шарика (не менее 7 точек).

1.2. Известно, что \(\tau(m) = km^\alpha\), где \(k\), \(\alpha\) — постоянные коэффициенты. Найдите \(k\), \(\alpha\).

Часть 2. В данной части работы следует проводить измерения при максимальной массе шарика. Амплитуда колебаний \(A\) — длина дуги окружности между равновесным положением шарика и максимальным отклонением шарика от положения равновесия.

2.1. Снимите зависимость амплитуды колебаний от времени \(t\) при угловом значении амплитуд в диапазоне от \(60^\circ\) до \(20^\circ\) (не менее 7 точек).

Рассмотрим результаты двух теорий, описывающие зависимость \(A(t)\):

2.2.1. Ламинарное обтекание шарика воздухом. \(A(t) = A_0e^{-\delta t}\), где \(A_0\) — начальная амплитуда колебаний, \(\delta = 3\pi r\eta/m\), \(r\) — радиус шарика, \(m\) — масса шарика, \(\eta\) — вязкость воздуха. Известно, что \(\eta \in [0{,}5;\,5]\cdot 10^{-5}\) Па\(\cdot\)с. Проверьте применимость теории к вашим результатам.

2.2.2. Турбулентное обтекание шарика воздухом. \(A(t) = A_0/(1 + \beta A_0 t)\), где \(\beta = \pi\rho d^2 C_d/(3mT)\), \(\rho = 1{,}17\) кг/м\(^3\) — плотность воздуха, \(d\) — диаметр шарика, \(T\) — период колебаний, \(C_d\) — некоторый коэффициент. Из теоретических соображений известно, что \(C_d \in [0{,}4;\,4]\). Проверьте применимость теории к вашим результатам.

Сделайте оценки погрешности ваших результатов.

Указание. Период малых колебаний шарика на длинной нити примерно равен \(2\pi\sqrt{l/g}\), где \(l\) — расстояние от точки подвеса до центра масс груза, \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения на Земле. Во всех частях работы зависимостью периода колебаний от их амплитуды и массы шарика можно пренебречь.

Оборудование. Штатив, измерительная лента, нитка, бумажный транспортир, теннисный шарик известной массы \(2{,}4\) г, шприц, стакан с водой, миллиметровая бумага (для построения графиков).
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Время удобно измерять по числу колебаний маятника. Бифилярный подвес фиксирует плоскость колебаний и заметно улучшает измерения. Линейность графика \(\tau/T\) от \(m\) проверяйте на миллиметровке.
Ответ
1.2) \(\alpha = 1\), \(k = (1{,}77 \pm 0{,}03)\) с/г. 2.2.1) Ламинарная теория не подтверждается: при \(\eta \approx 2\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с расхождение с условием составляет около двух порядков. 2.2.2) Турбулентная теория подтверждается: \(C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)\), что лежит в заданном интервале.
Решение
Часть 1. Время удобно измерять по числу колебаний маятника; бифилярный подвес фиксирует плоскость колебаний. Добавляя в шарик порции воды шприцем, получаем зависимость \(\tau(m)\) для длины нити \(l \approx 67\) см. Точки (значения \(\tau/T\); \(m\), г): \((2;\,2{,}4)\), \((6;\,5{,}4)\), \((9;\,8{,}4)\), \((13;\,11{,}4)\), \((16;\,14{,}4)\), \((19;\,17{,}4)\), \((22;\,20{,}4)\), \((25;\,23{,}4)\), \((28;\,26{,}4)\), \((32;\,29{,}4)\), \((35;\,32{,}4)\). Погрешность массы определяется ценой деления шприца и растёт с массой; погрешность времени постоянна и равна половине периода.

Построив график (рис. 4), убеждаемся, что он линеен, поэтому \(\alpha = 1\). Из коэффициента наклона прямой \(k = (1{,}77 \pm 0{,}03)\) с/г.

Часть 2. Угловая амплитуда \(\varphi\) от \(t/T\): \((0;\,60^\circ)\), \((4;\,51^\circ)\), \((8;\,43^\circ)\), \((12;\,38^\circ)\), \((16;\,34^\circ)\), \((20;\,32^\circ)\), \((24;\,29^\circ)\), \((28;\,27^\circ)\), \((32;\,25^\circ)\), \((36;\,24^\circ)\), \((40;\,22{,}5^\circ)\), \((44;\,21^\circ)\). Поскольку \(A\) — длина дуги, \(A_0/A = \varphi_0/\varphi\).

Ламинарная теория. Линеаризуем зависимость: \(\ln(A_0/A) = \delta t\). Строим график \(\ln(A_0/A)\) от \(t/T\) (рис. 5).

Зависимость не является линейной. Даже если принять её за линейную, из графика получаем \(\eta \approx 2\cdot 10^{-3}\) Па\(\cdot\)с, что на два порядка отличается от величины из условия. Следовательно, данная теория неприменима.

Турбулентная теория. Линеаризуем: \(A_0/A = 1 + \beta A_0 t\). Значения \(A_0/A\) при \(t/T\) \(= 0, 4, 8, \dots, 36\): \(1{,}00;\ 1{,}18;\ 1{,}40;\ 1{,}58;\ 1{,}76;\ 1{,}88;\ 2{,}07;\ 2{,}22;\ 2{,}40;\ 2{,}50\). График (рис. 6) линеен в пределах погрешности.

Из наклона прямой \(C_d = (0{,}88 \pm 0{,}02)\), что лежит в заданном промежутке и окончательно подтверждает применимость второй теории.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Затухающие колебания

Затухающие колебания

Похожие задачи