Ферма из девяти стержней

Сначала покажите, что стержень 6 не нагружен, используя симметрию конструкции. Затем рассмотрите равновесие крайнего шарнира.

Докажем, что сила натяжения стержня 6 равна нулю. Действительно, пусть эта сила не равна нулю. Тогда условия равновесия узлов I и II (см. рисунок) дают \[\vec F_1 + \vec F_4 + \vec F_3 + \vec F_6 = 0 \quad\text{для узла I}, \qquad \vec F_2 + \vec F_3 + \vec F_5 = 0 \quad\text{для узла II}.\] На рисунке приняты определённые направления сил натяжения стержней; доказательство равенства нулю силы натяжения стержня 6 от этих направлений не зависит. Благодаря симметрии конструкции относительно «право–лево» силы натяжения стержней 4 и 5 одинаковы. Поэтому условия равновесия узлов I и II в проекциях на оси, перпендикулярные стержням 1 и 2 соответственно, будут одинаковы, за исключением силы натяжения стержня 6, которая, таким образом, должна быть равна нулю: \(F_6 = 0\).

Это значит, что стержень 6 можно удалить из конструкции, а для неё справедливо и условие симметрии «верх–низ». То есть \[F_1 = F_2 = F_8 = F_9; \qquad F_4 = F_5; \qquad F_3 = F_7.\] Теперь из условия равновесия самого левого узла (см. рисунок) заключаем, что стержни 1 и 2 (и, следовательно, 8 и 9) будут сжаты, а силы их натяжения равны \[F_1 = F_2 = F_8 = F_9 = \frac{F}{2\cos 45^\circ} = \frac{F}{\sqrt{2}}.\]

Поэтому из условия равновесия верхних или нижних узлов заключаем, что стержни 4 и 5 тоже будут сжаты, а стержни 3 и 7 растянуты. Из условия равновесия узла II в проекциях на горизонтальную ось получаем \(F_2 = F_5\), следовательно, \(F_4 = F_5 = \dfrac{F}{\sqrt{2}}\). А из условия равновесия в проекциях на вертикальную ось \(F_3 = 2F_2\cos 45^\circ\) находим \[F_3 = F_7 = F.\] Итак: стержни 1, 2, 4, 5, 8, 9 – сжаты, \(F_1 = F_2 = F_4 = F_5 = F_8 = F_9 = \dfrac{F}{\sqrt{2}}\); стержни 3 и 7 – растянуты, \(F_3 = F_7 = F\); стержень 6 не нагружен, \(F_6 = 0\).