Шар на доске: вертикальная и горизонтальная

Во втором случае на шар действует ещё и сила реакции доски. Разложите силы на вертикальную и горизонтальную составляющие и найдите угол нити с вертикалью из геометрии системы.

Пусть масса шара \(m\). Тогда сила натяжения нити в первом случае равна силе тяжести шара: \[T_1 = mg.\] Во втором случае на шар действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила реакции доски. Поэтому сила натяжения компенсирует не только силу тяжести, но ещё и силу реакции доски и, следовательно, должна вырасти по сравнению с первым случаем. Найдём, во сколько раз.

Условие равновесия шара во втором случае в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси даёт \[T_2 \cos\alpha = mg, \qquad T_2 \sin\alpha = N,\] где \(T_2\) – сила натяжения во втором случае, \(\alpha\) – угол между нитью и вертикалью во втором случае, \(N\) – сила реакции доски. Отсюда находим \[T_2 = \frac{mg}{\cos\alpha}.\] Косинус угла \(\alpha\) найдём геометрически. Из треугольника, образованного нитью, шаром и участком доски, находим \(\sin\alpha = \dfrac{1}{4}\). Поэтому \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\) и, следовательно, \[T_2 = \frac{4mg}{\sqrt{15}}.\] То есть при расположении доски вертикально сила натяжения вырастет в \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{\cos\alpha} = \frac{4}{\sqrt{15}} \approx 1{,}03\] раза.