Приборы, соединённые треугольником и звездой

Показания омметра в первом случае дают сумму сопротивлений вольтметра и амперметра. Во втором случае вольтметр и амперметр включены параллельно.

Найдём сначала сопротивления вольтметра и амперметра. Поскольку вольтметр показывает напряжение на самом себе, \(U_1\), а ток через него – \(I_1\), то \[r_V = \frac{U_1}{I_1} = 2000~\text{Ом}.\] Омметр показывает суммарное сопротивление вольтметра и амперметра, поэтому сопротивление амперметра \(r_A\) составляет \[r_A = R_1 - \frac{U_1}{I_1} = 200~\text{Ом}.\] Рассмотрим теперь соединение приборов «звездой». Очевидно, схема эквивалентной цепи может быть нарисована так, как это показано на рисунке. А поскольку в этом положении амперметр показывает ток \(I_2\), то напряжение на нём равно \[r_A I_2 = 0{,}6~\text{В}.\]

Но вольтметр и амперметр соединены параллельно, поэтому таким же будет и показание вольтметра во втором случае: \[U_2 = r_A I_2 = \left(R_1 - \frac{U_1}{I_1}\right) I_2 = 0{,}6~\text{В}.\] Поскольку во втором случае к омметру подключены параллельно соединённые амперметр и вольтметр, его показания составляют \[R_2 = \frac{r_V r_A}{r_V + r_A} = \frac{U_1\left(R_1 - \frac{U_1}{I_1}\right)}{R_1 I_1} = \frac{U_1\,(R_1 I_1 - U_1)}{R_1 I_1^2} = 182~\text{Ом}.\] Найдём теперь внутреннее сопротивление омметра \(r_\Omega\) и напряжение его источника \(U_\Omega\). В первом случае ток через омметр равен \(I_1\), напряжение на нём \(I_1 R_1\). Поэтому \[U_\Omega = I_1 r_\Omega + I_1 R_1.\] Во втором случае ток через омметр равен \[I_2 + \frac{U_2}{r_V} = I_2 + \frac{(I_1 R_1 - U_1)\,I_2}{U_1} = \frac{I_1 R_1}{U_1}\,I_2,\] а напряжение на нём – \(U_2\). Поэтому для напряжения источника омметра во втором случае имеем \[U_\Omega = \frac{I_1 I_2 R_1}{U_1}\,r_\Omega + U_2 = \frac{I_1 I_2 R_1}{U_1}\,r_\Omega + \frac{(I_1 R_1 - U_1)\,I_2}{I_1}.\] Приравнивая два выражения для \(U_\Omega\), найдём сопротивление омметра: \[r_\Omega = \frac{\left[R_1 I_1 (I_1 - I_2) + U_1 I_2\right] U_1}{I_1^2\,(I_2 R_1 - U_1)} \approx 697~\text{Ом}.\] Соберём вместе все ответы. Показания вольтметра и омметра при соединении звездой: \[U_2 = 0{,}6~\text{В}, \qquad R_2 = 182~\text{Ом}.\] Сопротивления амперметра, вольтметра и омметра: \[r_A = 200~\text{Ом}, \qquad r_V = 2000~\text{Ом}, \qquad r_\Omega \approx 697~\text{Ом}.\]