Стержень на шаре с трением

Силы тяжести и реакции приложены к центру шара и не создают моментов относительно него. Сравните силы трения с предельным значением \(\mu N\) в обеих точках касания.

Пусть сила нормальной реакции между стержнем и шаром (которая зависит от массы стержня и угла \(\alpha\)) равна \(\vec N\). Силы, действующие на шар, показаны на рисунке. Здесь \(m\vec g\) – сила тяжести шара, \(\vec N_1\) – сила реакции горизонтальной поверхности, \(\vec F_{тр}\) и \(\vec F_{тр,1}\) – силы трения между шаром и стержнем и между шаром и горизонтальной поверхностью соответственно. Поскольку силы тяжести и реакции приложены к центру шара, их моменты относительно центра равны нулю, и из условия моментов относительно центра шара заключаем, что в равновесии силы трения равны друг другу. Поэтому условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дают \[F_{тр} + F_{тр}\cos\alpha = N\sin\alpha, \qquad N_1 = N\cos\alpha + mg + F_{тр}\sin\alpha.\] Из этих формул находим \[F_{тр} = \frac{N\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}, \qquad N_1 = N + mg.\]

При этом условия отсутствия проскальзывания в точках касания шара и стержня, шара и горизонтальной поверхности \[F_{тр} \le \mu N, \qquad F_{тр} \le \mu N_1 = \mu(N + mg)\] дают условия на угол \(\alpha\) в равновесии системы. Из этих формул видим, что с ростом угла \(\alpha\) (или с уменьшением коэффициента трения) первым нарушается первое условие, которое вместе с первой формулой определяет равновесное значение угла наклона стержня: \[\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} \le \mu.\] Используя формулу для тангенса половинного угла, это условие можно привести к виду \[\operatorname{tg}(\alpha/2) \le \mu \quad\text{или}\quad \alpha \le 2\operatorname{arctg}\mu.\] Отметим, что из проведённого анализа можно сделать вывод, как начнёт двигаться шар при увеличении угла \(\alpha\) или уменьшении коэффициента трения. Поскольку первым нарушается условие отсутствия проскальзывания между шаром и стержнем, при увеличении угла \(\alpha\) или уменьшении коэффициента трения шар начнёт катиться по горизонтальной поверхности, не проскальзывая относительно неё. Это положение реализуется при любых значениях силы \(N\), т.е. даже бесконечно лёгкий стержень заставит катиться шар при нарушении условия (**). Это связано с пренебрежением трением качения (которое мы использовали в решении), которое в реальной ситуации не позволит катиться шару.