Смешение десяти порций воды

Запишите уравнение теплового баланса для всех порций сразу. В сумме получатся суммы натуральных чисел и их кубов.

Уравнение теплового баланса для рассматриваемых порций воды даёт \[m(t - t_x) + 2m(2^2 t - t_x) + 3m(3^2 t - t_x) + 4m(4^2 t - t_x) + \ldots + 10m(10^2 t - t_x) = 0.\] В результате имеем \[m t_x\,(1 + 2 + 3 + \ldots + 10) = m t\,(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3).\] Суммы в скобках можно вычислить непосредственно, а можно воспользоваться известными формулами для суммы натуральных чисел и суммы кубов натуральных чисел: \[1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}.\] Поэтому имеем \[t_x = \frac{n(n+1)}{2}\,t,\] где \(n = 10\). Отсюда \(t_x = 55\,^\circ\text{C}\).