Слинки

Разбейте слинку на одинаковые витки: натяжение и растяжение растут от нижнего конца к верхнему. Найдите положение центра масс через сумму по виткам и сравните энергию упругой деформации с кинетической энергией после схлопывания.

Разобьём слинку на \(N\) одинаковых витков массы \(\dfrac{m}{N}\). Натяжение \(n\)-го витка с нижнего конца \(T_n = \dfrac{(n-1)mg}{N}\), а растяжение витка с жёсткостью \(Nk\) равно \(l_n = \dfrac{(n-1)mg}{N^2k}\). Суммируя растяжения витков (при \(N \gg 1\)), получаем длину растянутой слинки \(L \approx \dfrac{mg}{2k}\).

Энергия деформации слинки \[E_{\text{деф}} = \sum_{i}\frac{1}{2Nk}\,l_i^2 \approx \frac{1}{6}\,\frac{(mg)^2}{k} = \frac{1}{3}mgL .\]

Положение центра масс растянутой слинки (отсчёт от нижнего конца): \(h \approx \dfrac{mg}{6k} = \dfrac{L}{3}\).

Центр масс после схлопывания падает свободно с ускорением \(g\), поэтому его кинетическая энергия сразу после схлопывания \(E_{\text{кин}} = mgh = \dfrac{1}{3}mgL\). Энергия потерь \[E_{\text{потерь}} = E_{\text{деф}} + mgh - E_{\text{кин}} = \frac{1}{3}mgL \approx 0{,}4~\text{Дж}.\]