Два осколка

Вычислите дальность каждого осколка через его вертикальную и горизонтальную проекции скорости, затем найдите максимум. Для второго способа: какую скорость имеют осколки у земли, если известна энергия?

Пусть первый осколок имел вертикальную проекцию скорости \(v_{y,0}\), а горизонтальную \(v_{x,0} = \sqrt{v_0^2 - v_{y,0}^2}\), и летел до падения время \(t_1\). Второй осколок имел вертикальную проекцию \(-v_{y,0}\), горизонтальную \(-v_{x,0}\) и летел время \(t_2\). Расстояние между упавшими осколками \(L = v_{x,0}(t_1 + t_2)\).

Из кинематики по вертикали получаем два квадратных уравнения \[H + v_{y,0}t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 0, \qquad H - v_{y,0}t_2 - \frac{gt_2^2}{2} = 0 .\] Их корни \(t_{1,2}\) дают \[L = 2v_{x,0}\sqrt{\frac{v_{y,0}^2}{g^2} + \frac{2H}{g}} = \frac{2}{g}\sqrt{(v_0^2 - v_{y,0}^2)(v_{y,0}^2 + 2gH)} .\] Возведя в квадрат и приведя подобные, получаем биквадратное уравнение относительно \(v_{y,0}\). Его дискриминант обращается в нуль тогда, когда \(L\) достигает максимума. Отсюда \[L_{\max} = 2H + \frac{v_0^2}{g} \qquad (\text{при } v_0^2 \geqslant 2gH).\]

Второй способ. По закону сохранения энергии оба осколка падают на землю с одинаковой скоростью \(u\): \(\dfrac{mu^2}{2} = \dfrac{mv_0^2}{2} + mgH\). Сумма их траекторий есть траектория тела, брошенного со скоростью \(u\); дальность такого полёта максимальна при угле \(45^\circ\) и равна \(u^2/g\). Тогда \(L_{\max} = u^2/g = 2H + v_0^2/g\).

Если \(v_0^2 < 2gH\), то осколки летят со скоростью \(v_0\) вдоль горизонтали, время падения \(t = \sqrt{2H/g}\), и искомое расстояние \(L_{\max} = 2v_0\sqrt{2H/g}\).