Кольца Ауди

Схема симметрична относительно прямой \(AB\): токов поперёк неё нет, поэтому центральные узлы можно разъединить вдоль этой прямой. Сопротивление полукольца выражается через \(R_0\).

Сопротивление кольца равно \(R = 4R_0\), сопротивления его трети и шестой части равны \(R/3\) и \(R/6\). В силу симметрии относительно оси \(AB\) токов между верхней и нижней половинами цепи нет, поэтому центральные узлы можно разъединить вдоль оси. Схема сводится к последовательно-параллельному набору участков с сопротивлениями \(R/3\) и \(R/6\).

Сопротивление верхней половины цепи из \(N\) колец \[R_{\text{Э,верх}} = \frac{R}{3} + (N-2)\,\frac{\frac{R}{6}\cdot\frac{R}{3}}{\frac{R}{6} + \frac{R}{3}} + \frac{R}{3} = 4\,\frac{N+4}{9}\,R_0 .\] Сопротивление всей цепи — параллельное соединение верхней и нижней половин: \[R_\text{Э} = \frac{R_{\text{Э,верх}}}{2} = 2\,\frac{N+4}{9}\,R_0 .\] Тот же результат получается и при расстановке токов: при минимальном токе \(I\) в ветвях \(U = 3I\dfrac{R}{3} + (N-2)\,2I\dfrac{R}{6} + 3I\dfrac{R}{3} = IR\,\dfrac{N+4}{3}\), откуда \(R_\text{Э} = U/(6I)\).