Утечка

Пока перегородка лежит на уступе, нижний газ сжимается адиабатически. Когда давление снизу превысит верхнее на \(mg/S\), газ начнёт перетекать, а разность давлений останется постоянной; для всего гелия сразу удобно записать закон сохранения энергии.

Здесь \(x=\dfrac{mgH}{pV}\).

a) \(V_0=V\,(1+x)^{-3/5}\);  b) \(T_1=\dfrac{T}{2}\left[\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{5/3}-x\right]\);  c) \(T_2=T\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{2/3}\).

Что происходит. Поршень медленно сжимает нижний газ. Стенки, поршень и перегородка не проводят тепло, поэтому нижний газ сжимается адиабатически, а его давление растёт. Верхний газ пока не меняется: перегородка лежит на уступе. Когда избыток давления снизу становится достаточным, чтобы приподнять перегородку, газ начинает просачиваться вверх. Перегородка при этом лишь слегка приподнята, и разность давлений под ней и над ней остаётся равной давлению, которое создаёт её вес: \(\Delta p=mg/S\). Идея решения: на первом этапе — адиабата одного газа; на втором — закон сохранения энергии сразу для всего гелия (перетекающий газ нагревает верхнюю камеру, поэтому по отдельности камеры считать неудобно); температуру газа, оставшегося внизу, находим снова по адиабате.

Рис. 1. Три состояния системы (рисунок не в масштабе по давлениям; высота нижней камеры во втором состоянии посчитана для \(x=0{,}5\)).

Обозначения. \(S=V/H\) — площадь сечения цилиндра; \(p_1,V_1,T_1\) — давление, объём и температура верхней камеры, \(p_2,V_2,T_2\) — нижней; \(V_1=V\) не меняется. Значения в момент касания поршнем перегородки отмечаем штрихом; искомые в условии \(T_1\) и \(T_2\) — это \(T_1'\) и \(T_2'\). В начале в каждой камере по \(n\) молей, \(pV=nRT\). Безразмерный параметр \[x=\frac{mgH}{pV}=\frac{mg/S}{p}=\frac{\Delta p}{p},\qquad \Delta p=\frac{mg}{S}.\] Гелий одноатомный: внутренняя энергия \(U=\frac32\,\nu RT=\frac32\,pV\).

Адиабата. Выделим мысленно порцию газа в нижней камере: объём \(v\), давление \(p_2\), границы — два невесомых тонких поршня (рис. 2). Теплообмена с окружающим газом нет, а сжимается порция медленно, поэтому изменение её внутренней энергии равно работе внешних сил над ней: \[d\!\left(\frac32\,p_2v\right)=-p_2\,dv \quad\Longrightarrow\quad \frac52\,p_2\,dv+\frac32\,v\,dp_2=0 \quad\Longrightarrow\quad v^5p_2^3=\text{const}. \tag{1}\] Температура порции пропорциональна \(p_2v\propto p_2\cdot p_2^{-3/5}=p_2^{2/5}\), откуда \[T_2^{5}\,p_2^{-2}=\text{const}. \tag{2}\] Давление и температура порции — это давление и температура нижней камеры: \(p_2\), \(T_2\). Остальной газ только давит на порцию извне.

Рис. 2. Порция газа в нижней камере между двумя воображаемыми невесомыми поршнями.

a) Пока перегородка лежит на уступе, давление в верхней камере остаётся \(p\). На перегородку действуют (рис. 3): сила давления нижнего газа \(p_2S\) вверх, сила давления верхнего газа \(pS\) вниз, сила тяжести \(mg\) вниз и сила реакции уступа \(N\ge0\) вверх. Условие равновесия \[p_2S+N=pS+mg .\] Пока \(N>0\), перегородка прижата к уступу, и газ не просачивается. Просачивание начинается, когда \(N=0\): \[p_0=p+\frac{mg}{S}=p+\frac{mgH}{V}=p\,(1+x).\]

Рис. 3. Силы на перегородку в момент начала просачивания (\(N=0\)): \(p_0S=pS+mg\).

До этого момента нижний газ сжимался адиабатически от \((V,\,p)\) до \((V_0,\,p_0)\). По уравнению (1) \(V_0^5p_0^3=V^5p^3\), откуда \[V_0=V\left(\frac{p}{p_0}\right)^{3/5}=\boxed{V\,(1+x)^{-3/5}} .\] Проверка: при \(x\to0\) (невесомая перегородка) получаем \(V_0\to V\) — газ просачивается сразу, как только поршень тронулся; чем тяжелее перегородка, тем сильнее надо сжать нижний газ. Например, при \(x=0{,}5\) имеем \(V_0\approx0{,}78\,V\).

b) После начала просачивания давление в нижней камере продолжает расти, газ идёт вверх, а перегородка висит над уступом так, что \((p_2-p_1)S=mg\). Значит, разность давлений остаётся равной \(\Delta p\), и \[p_1=p_2-\Delta p,\qquad dp_1=dp_2 .\] Обратите внимание: на втором этапе адиабату (1) к нижней камере применять нельзя — часть газа уходит в верхнюю камеру и уносит с собой энергию. Поэтому записываем закон сохранения энергии для всего гелия сразу.

Теплообмена с окружающими телами нет, перегородка и стенки неподвижны, и энергия газа меняется только за счёт работы поршня. При смещении поршня вверх нижний объём меняется на \(dV_2<0\), и работа поршня над газом равна \(-p_2\,dV_2\): \[dU=-p_2\,dV_2 .\] Каждая камера содержит идеальный газ, поэтому \(U_i=\frac32\,p_iV_i\) при любом числе молей, и \(U=\frac32\,(p_1V_1+p_2V_2)\). Учитывая \(V_1=V\) и \(dp_1=dp_2\), получаем \[\frac32\,(V+V_2)\,dp_2+\frac32\,p_2\,dV_2=-p_2\,dV_2 \quad\Longrightarrow\quad 3\,\frac{dp_2}{p_2}+5\,\frac{d(V+V_2)}{V+V_2}=0,\] \[(V+V_2)^5\,p_2^3=\text{const}. \tag{3}\] Верхняя камера входит в это равенство как добавка \(V\) к объёму нижней: на втором этапе газ ведёт себя как адиабатически сжимаемый газ в объёме \(V+V_2\).

Применим (3) от начала просачивания (\(V_2=V_0\), \(p_2=p_0\)) до касания поршнем перегородки (\(V_2=0\), \(p_2=p_2'\)): \[V^5p_2'^{\,3}=(V+V_0)^5p_0^3 \quad\Longrightarrow\quad p_2'=p_0\left(1+\frac{V_0}{V}\right)^{5/3} =p\,(1+x)\Bigl(1+(1+x)^{-3/5}\Bigr)^{5/3} =p\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{5/3}.\] В этот момент нижнего объёма уже нет, и весь газ — \(2n\) молей — находится в верхней камере. Давление там \[p_1'=p_2'-\Delta p=p\left[\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{5/3}-x\right].\] Уравнение Менделеева — Клапейрона для верхнего газа \(p_1'V=2n\,RT_1'\) с \(nR=pV/T\) даёт \(T_1'=\dfrac{T}{2}\,\dfrac{p_1'}{p}\): \[T_1'=\boxed{\frac{T}{2}\left[\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{5/3}-x\right]} .\]

Рис. 4. Давления в нижней (\(p_2\)) и верхней (\(p_1\)) камерах при \(x=0{,}5\) в зависимости от объёма нижней камеры. Процесс идёт справа налево: \(A\to B\) — адиабата, \(B\to C\) — просачивание; \(C_1\) — давление в верхней камере в конце. Числа посчитаны по формулам выше.

Проверка: при \(x\to0\) получаем \(T_1'=2^{2/3}\,T\). Это сходится со вторым способом: без перегородки весь газ сжимается адиабатически от \(2V\) до \(V\), и \(TV^{2/3}=\text{const}\) даёт тот же результат. Для \(x=0{,}5\) формула даёт \(T_1'\approx1{,}72\,T\); прямое численное интегрирование уравнений энергии для двух камер при том же \(x\) даёт \(1{,}718\,T\).

c) Газ, оставшийся в нижней камере, до самого касания сжимается адиабатически: любая его порция не обменивается теплом с окружающими и не знает о том, что соседняя часть газа ушла вверх. Поэтому соотношение (2) верно для нижнего газа на всём протяжении сжатия, от начального состояния \((T,\,p)\) до \((T_2',\,p_2')\): \[T_2'^{\,5}\,p_2'^{-2}=T^5p^{-2} \quad\Longrightarrow\quad T_2'=T\left(\frac{p_2'}{p}\right)^{2/5}=\boxed{T\Bigl(1+(1+x)^{3/5}\Bigr)^{2/3}} .\]

Рис. 5. Температуры в конце: \(T_1'\) (чёрная) и \(T_2'\) (бирюзовая) в зависимости от \(x\). Оба значения при \(x=0\) равны \(2^{2/3}T\).

Проверка: при \(x\to0\) получаем \(T_2'=2^{2/3}\,T=T_1'\), как и должно быть без перегородки. При \(x>0\) температуры различаются: \(T_2'>T_1'\), например при \(x=0{,}5\) имеем \(T_2'\approx1{,}73\,T\) против \(T_1'\approx1{,}72\,T\). Верхний газ — смесь порций, перетекавших в разные моменты и при разных температурах, поэтому он холоднее нижнего, самого сжатого газа.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.