Стеклянный шар

Лучи от точки нити к далёкой камере лежат в плоскости, проходящей через эту точку, центр шара и камеру. Угол между направлением на центр и лучом к камере как функция угла падения имеет максимум; в нём два изображения точки нити сливаются, а это даёт простую связь показателя преломления с расстоянием от центра до точки слияния на фотографии.

a) при \(\gamma<\gamma_0\) каждая точка нити даёт два изображения, при \(\gamma=\gamma_0\) — одно, при \(\gamma>\gamma_0\) — ни одного, поэтому изображение отрезка нити замыкается в петлю;  b) \(n_R=\sqrt{4-3\,(h_0/R)^2}\approx1{,}50\);  c) \(\Delta n\approx0{,}014\) (\(n_V\approx1{,}517\)).

Что происходит. Камера видит в данной точке шара свет, пришедший вдоль луча, преломлённого внутри шара. Если на пути этого луча на задней поверхности стоит нить, света нет: точка кажется тёмной в том цвете, который нить перекрыла. Поэтому лучи удобно вести назад: от камеры к точке \(Q\) на передней поверхности и дальше к точке \(P\) на задней, где может стоять нить. Угол между направлением на центр шара и лучом к камере оказывается немонотонной функцией угла падения: у него есть максимум. Отсюда получается всё: две точки выхода для одной точки нити, слияние изображений в максимуме и замкнутая петля; в максимуме же выполняется простое соотношение между показателем преломления и положением точки на снимке, а сравнение положений красных и фиолетовых изображений одной и той же точки нити даёт \(\Delta n\).

Обозначения. \(R\) — радиус шара, \(O\) — центр, \(A\) — камера; она далеко, поэтому лучи к ней параллельны \(OA\). \(P\) — точка нити на задней поверхности, \(Q\) — точка, в которой луч от \(P\) выходит из шара. \(\alpha\) — угол между лучом внутри шара и радиусом \(OQ\), \(\beta\) — угол между вышедшим лучом (направление на камеру) и тем же радиусом. Закон преломления на выходе: \[\sin\beta=n\sin\alpha. \tag{1}\] На фотографии расстояние точки \(Q\) от центра равно \(h=R\sin\beta\): точка поверхности, радиус которой составляет угол \(\beta\) с направлением на камеру, проецируется на расстояние \(R\sin\beta\) от центра.

a) Плоскость лучей. Луч внутри шара \(PQ\), нормаль \(OQ\) и вышедший луч \(QA\) лежат в одной плоскости. Направление \(QA\) для всех \(Q\) одно и то же — вдоль \(OA\), так как камера далеко. Значит, плоскость проходит через \(P\), центр \(O\) и прямую \(OA\): все лучи от точки \(P\) к камере лежат в плоскости \(POA\), и их можно рисовать на плоскости (рис. 4).

Угол \(\gamma\). Треугольник \(OPQ\) равнобедренный (\(OP=OQ=R\)), поэтому \(\angle OPQ=\angle OQP=\alpha\). Прямая \(PO\) повёрнута от \(PQ\) на угол \(\alpha\). На выходе луч поворачивается от направления \(PQ\) на угол \(\beta-\alpha\) в ту же сторону, куда повёрнута \(PO\), поэтому угол между \(PO\) и лучом к камере равен \[\gamma\equiv\angle OPA=\alpha-(\beta-\alpha)=2\alpha-\beta. \tag{2}\] Для данной точки \(P\) угол \(\gamma\) задан — это угол между направлением на центр и направлением на камеру. Найдём, сколько лучей идёт от \(P\) к камере.

Рис. 4. Ход лучей от точки \(P\) нити к далёкой камере (\(n=1{,}50\)). Слева \(\gamma=0{,}7\,\gamma_0\): два луча, выходящие в точках \(Q_1\) и \(Q_2\). Справа \(\gamma=\gamma_0\): один луч. Углы посчитаны по формулам (1) и (2).

Функция \(\gamma(\beta)\). Выразим \(\gamma\) через \(h/R=\sin\beta\) с помощью (1) и (2): \[\gamma=2\arcsin\frac{h/R}{n}-\arcsin\frac{h}{R}.\] При малых \(h\) угол \(\gamma\) растёт, а при \(\beta\to90^\circ\) (для \(n=1{,}5\)) уходит в отрицательную область; между ними максимум \(\gamma_0\) (рис. 5). Поэтому уравнение \(\gamma(\beta)=\gamma\) имеет:

• при \(\gamma<\gamma_0\) два корня \(\beta_1<\beta_0<\beta_2\) — два луча от \(P\) к камере, то есть два изображения \(Q_1\) и \(Q_2\) точки \(P\) (левая часть рис. 4);

• при \(\gamma=\gamma_0\) один корень \(\beta_0\) — изображения сливаются в одно, \(Q_0\) (правая часть рис. 4);

• при \(\gamma>\gamma_0\) корней нет — такую точку камера не видит.

Рис. 5. Зависимость \(\gamma\) от \(h/R=\sin\beta\) при \(n=n_R=1{,}504\) (по формуле выше; точки \(Q_1\), \(Q_2\) — измеренные \(h_1\), \(h_4\)). Уровню \(\gamma_a<\gamma_0\) соответствуют две точки \(Q_1\) и \(Q_2\), максимуму — одна, \(Q_0\).

Петля. Нить — дуга большого круга, и видны только её точки с \(\gamma\le\gamma_0\): они лежат в шапке малого углового радиуса \(\gamma_0\approx11^\circ\) вокруг точки, диаметрально противоположной камере. Для каждой внутренней точки нити в шапке на снимке два изображения \(Q_1\) и \(Q_2\), для краевых точек шапки — одно, \(Q_0\). Когда точка \(P\) идёт вдоль нити от одного края шапки к другому, \(Q_1\) и \(Q_2\) расходятся из \(Q_0\) и вновь сходятся в точке \(Q_0\) на другом краю. Изображения образуют замкнутую кривую (рис. 6). Нить имеет малую ширину и закрывает свет в узкой полосе у этой кривой; у красного и фиолетового света \(n\) разные, поэтому петли получаются разными — красная (синее кольцо на снимке) и фиолетовая (красный эллипс).

Рис. 6. Вычисленное изображение участка нити (\(n_R=1{,}50\)); \(Q_0\) — точки касания петли с радиусами из центра \(O\), \(h_1\) и \(h_4\) — пересечения петли с осью симметрии. Нить принята дугой большого круга, наименьший угол \(\gamma\) для неё равен \(0{,}93\,\gamma_0\).

b) Условие максимума. Продифференцируем (2) и (1): \[d\gamma=2\,d\alpha-d\beta=0,\qquad n\cos\alpha\,d\alpha=\cos\beta\,d\beta .\] Отсюда в максимуме \(n\cos\alpha_0=2\cos\beta_0\). Возведём это равенство в квадрат и сложим с (1), возведённым в квадрат: \[n^2=n^2\sin^2\alpha_0+n^2\cos^2\alpha_0=\sin^2\beta_0+4\cos^2\beta_0=4-3\sin^2\beta_0,\] \[n=\sqrt{4-3\,\sin^2\beta_0}=\sqrt{4-3\,\frac{h_0^2}{R^2}}. \tag{3}\] Здесь \(h_0\) — расстояние точки слияния \(Q_0\) от центра шара на снимке.

Где \(Q_0\) на снимке. Любая плоскость, проходящая через \(OA\), проецируется на фотографию в прямую — радиус, проведённый из центра. Нить видна в тех плоскостях, где есть её точки с \(\gamma\le\gamma_0\); в крайней плоскости у её точки \(\gamma=\gamma_0\), и изображение единственно — это \(Q_0\). Значит, \(Q_0\) — точка, в которой петля касается радиуса (рис. 6). Любая из петель красного света — и внешняя, и внутренняя граница синего кольца — касается радиуса на одном и том же расстоянии \(h_0\), определяемом формулой (3): оно зависит только от \(n\), а не от того, какой участок нити мы смотрим.

Измерения. Обратите внимание: цвета на снимке — это отсутствие света. Синее кольцо — место, где нить закрыла красный свет (остаётся фиолетовый, который матрица показывает синим); красный эллипс — место, где закрыт фиолетовый, а красный есть. Поэтому по синему кольцу находим \(n_R\).

Измерено на увеличенной фотографии (рис. 2) в долях радиуса шара \(R\): центр \(O\) — крестик, \(R=1163\) пикселя — радиус пунктирной окружности. Границы синего кольца подогнаны эллипсами, из \(O\) проведены касательные (рис. 7). Расстояния точек касания: для внешней границы кольца \(h_0/R=0{,}774\), для внутренней — \(0{,}760\). Эти значения должны совпадать; расхождение показывает точность, с которой удаётся провести границу размытой полосы. Берём среднее \(h_0/R=0{,}767\): \[n_R=\sqrt{4-3\cdot0{,}767^2}\approx1{,}50 .\]

Рис. 7. Измерения по увеличенной фотографии (в масштабе): чёрный эллипс — внешняя граница синего кольца, серый — внутренняя, бирюзовый — граница красного эллипса (пунктир на снимке); \(Q_0\) — точки касания. Под рисунком — профиль вдоль радиуса через центр эллипсов: серые участки — синее кольцо, бирюзовый — красный эллипс. Границы: \(h_1=0{,}625R\), \(h_2=0{,}683R\), \(h_3=0{,}807R\), \(h_4=0{,}861R\).

Проверка вторым способом — по двум точкам петли на одном радиусе. Вдоль радиуса через центр эллипсов (плоскость симметрии петли) на внешней границе синего кольца находятся два изображения одной и той же точки нити: \(h_1=0{,}625R\) и \(h_4=0{,}861R\). Для них \(\gamma\) одинаковы: \[2\arcsin\frac{h_1}{nR}-\arcsin\frac{h_1}{R}=2\arcsin\frac{h_4}{nR}-\arcsin\frac{h_4}{R}.\] Численное решение (python) даёт \(n_R=1{,}504\). Два способа согласуются: \(n_R=1{,}50\pm0{,}02\). Для такого \(n\) получаем \(\beta_0=49{,}6^\circ\), \(\gamma_0=11{,}3^\circ\) — шапка действительно малая.

c) Касательные для красного и фиолетового света отличаются мало: по формуле (3) для \(n_R\) и \(n_V\) получаем \(h_0=0{,}761R\) и \(0{,}752R\), разность \(0{,}009R\), тогда как разброс измерений \(h_0\) около \(0{,}014R\). Поэтому \(\Delta n\) так не получить; нужно сравнить красное и фиолетовое изображения одной и той же точки нити.

Почему синее изображение — кольцо, а красное — сплошной эллипс. Нить имеет ширину: у её края, ближнего к центру шапки, угол \(\gamma\) наименьший, \(\gamma_a\), у дальнего — чуть больше, \(\gamma_b\). Каждый край даёт свою петлю, и чем больше \(\gamma\), тем ближе друг к другу два корня \(h\) (рис. 5), то есть тем меньше петля. В красном свете видны оба края (\(\gamma_b<\gamma_{0R}\)): изображение нити — полоса между двумя вложенными петлями, это синее кольцо, и его внешняя граница — изображение ближнего края. Максимум для фиолетового света ниже, и дальний край нити уже не виден (\(\gamma_b>\gamma_{0V}\)): изображения нити заполняют всю петлю ближнего края — получается сплошной красный эллипс, граница которого — снова ближний край. Между внутренней границей синего кольца и красным эллипсом свет обоих цветов проходит — это пурпурная область. Значит, внешняя граница синего кольца (\(h_1\), \(h_4\)) и граница красного эллипса (\(h_2\), \(h_3\)) — изображения одной и той же линии нити, края с углом \(\gamma_a\).

Одной точке нити соответствует один угол \(\gamma\) независимо от цвета, а положение изображения зависит от \(n\) (рис. 8). Ближний край нити даёт красное изображение на внешней границе синего кольца — \(h_1\) и \(h_4\) — и фиолетовое на границе красного эллипса — \(h_2=0{,}683R\) и \(h_3=0{,}807R\) (пунктир на снимке). Значение \(\gamma\) найдём по красным точкам при \(n_R=1{,}504\): \[\gamma_a=2\arcsin\frac{h_1}{n_RR}-\arcsin\frac{h_1}{R}=10{,}44^\circ\] (по \(h_4\) получается то же, как и должно быть). Теперь для фиолетового света найдём \(n_V\) из условия \[2\arcsin\frac{h}{n_VR}-\arcsin\frac{h}{R}=\gamma_a,\qquad h=h_2,\ h_3 .\] Численное решение даёт \(n_V=1{,}517\) по \(h_2\) и \(n_V=1{,}518\) по \(h_3\). Отсюда \[\Delta n=n_V-n_R\approx1{,}517-1{,}504=\boxed{0{,}014} .\]

Рис. 8. Участок рис. 5 вблизи максимума для красного (\(n_R=1{,}504\)) и фиолетового (\(n_V=1{,}517\)) света. Горизонталь — \(\gamma_a\) точки нити; её пересечения с кривыми — положения изображений \(h_1,\dots,h_4\) (числа из измерений по снимку).

Проверка. Пользуясь найденными \(n_R\) и \(n_V\), посчитаем размеры петель независимо от измерений границ. Для нити с наименьшим углом \(\gamma_a\) петля тянется по азимуту до значения \(\cos\varphi_{\max}=\mathrm{tg}\,\gamma_a/\mathrm{tg}\,\gamma_0\) (здесь \(\Gamma\) — угол \(\gamma\) точки нити, видимой в азимуте \(\varphi\) от оси симметрии петли; для дуги большого круга \(\mathrm{tg}\,\Gamma=\mathrm{tg}\,\gamma_a/\cos\varphi\), а петля кончается там, где \(\Gamma=\gamma_0\)). Для красного света \(\gamma_0=11{,}26^\circ\) и \(\varphi_{\max}=22{,}3^\circ\), полуширина петли в азимутальном направлении \(h_0\sin\varphi_{\max}=0{,}289R\) — на снимке синее кольцо имеет полуширину \(0{,}289R\). Для фиолетового света \(\gamma_0=10{,}65^\circ\), \(\varphi_{\max}=11{,}6^\circ\) и полуширина \(0{,}151R\) — у красного эллипса на снимке \(0{,}150R\). Малая разность \(\gamma_0-\gamma_a\) в фиолетовом цвете очень чувствительна к \(n_V\), поэтому такое согласие подтверждает значение \(\Delta n=0{,}014\). Порядок величины тоже разумен: у кронового стекла показатель преломления между 630 и 400 нм меняется на \(1\)–\(2\cdot10^{-2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.