Нить вокруг цилиндра

Разрежьте боковую поверхность цилиндра вдоль образующей и разверните её в плоскость. На грани скольжения трение направлено вдоль оси на каждом кусочке нити, и из равновесия кусочка получится простое уравнение формы нити.

\(L_0=\pi R\sqrt{1+(\pi\mu)^2}+\dfrac{R}{\mu}\,\sinh^{-1}(\pi\mu)\).

Что происходит. Рассмотрим петлю на грани скольжения: чуть сильнее потянем, и она поедет. Каждая точка нити тогда движется вдоль оси цилиндра, поэтому трение на любом кусочке направлено вдоль оси и равно \(\mu\,\Delta N\), где \(\Delta N\) — нормальная реакция. Если разрезать боковую поверхность вдоль образующей через точку \(P\), за которую тянут, и развернуть её в плоскость, то длины нити не изменятся, а сама нить станет плоской кривой \(z(x)\). Тогда трение и натяжения лежат в плоскости развёртки, а нормальную реакцию найдём из вида сверху по кривизне цилиндра. Главная идея: уравнение равновесия кусочка нити даёт \(z''=\mu/R\), то есть форма петли на грани скольжения единственна — парабола; её длина и есть \(L_0\).

Рис. 1. Петля на цилиндре при \(\mu=0{,}5\) (вид сбоку, чуть сверху): \(P\) — точка, за которую тянут, \(O\) — верхняя точка петли; невидимая часть — пунктиром. Форма посчитана по результату решения.

Обозначения. Ось \(z\) направим вдоль оси цилиндра вниз, по силе тяги; ось \(x\) — вдоль окружности цилиндра, от верхней точки \(O\) петли, так что для угла \(\varphi\) от \(O\) на развёртке \(x=R\varphi\) и \(-\pi R\le x\le\pi R\). Точка \(O\) — начало отсчёта, \(z(0)=0\); точки \(P\) и \(P'\) на краях развёртки — одна и та же точка цилиндра. \(T_x\) — составляющая натяжения вдоль \(x\), \(\Delta N\) и \(\Delta f\) — нормальная реакция и сила трения на малый кусочек нити, горизонтальный размах которого \(\Delta x\).

Рис. 2. Развёртка боковой поверхности: нить — парабола \(z=\mu x^2/(2R)\), нарисована для \(\mu=0{,}5\). Края \(AB\) и \(A'B'\) склеиваются, \(P\) и \(P'\) — одна точка.

1. Составляющая \(T_x\) постоянна. Вдоль \(x\) на кусочек действуют только натяжения на его концах: трение направлено вдоль \(z\), нормальная реакция перпендикулярна поверхности. Поэтому на обоих концах кусочка \(T_x\) одинакова, то есть \(T_x=\text{const}\) вдоль всей нити.

2. Нормальная реакция (вид сверху). Концы кусочка отстоят по окружности на \(\Delta\varphi=\Delta x/R\). Составляющие натяжений \(T_x\) на концах направлены по касательным к окружности и повёрнуты друг относительно друга на \(\Delta\varphi\), поэтому их сумма направлена к оси и равна \[2T_x\sin\frac{\Delta\varphi}{2}\approx T_x\,\Delta\varphi=T_x\frac{\Delta x}{R}.\] Составляющие вдоль оси \(z\) радиальной силы не дают. Эту силу уравновешивает нормальная реакция цилиндра, направленная от оси: \[\Delta N=T_x\,\frac{\Delta x}{R}.\]

Рис. 3. Вид сверху: составляющие натяжения \(T_x\) на концах малого кусочка и нормальная реакция \(\Delta N\) (угол \(\Delta\varphi\) увеличен для наглядности).

3. Равновесие кусочка вдоль \(z\). Обратите внимание: трение направлено не вдоль нити, а вдоль оси цилиндра — вдоль скорости каждой точки нити, а нить скользит как целое вдоль оси. На грани скольжения \[\Delta f=\mu\,\Delta N=\mu\,T_x\frac{\Delta x}{R}.\] Натяжение на конце кусочка направлено по касательной к кривой \(z(x)\), поэтому его составляющая вдоль \(z\) равна \(T_x\,z'\). Тяга направлена вниз, значит, нить стремится ползти вниз, и трение направлено вверх. Запишем второй закон Ньютона для кусочка в проекции на ось \(z\) (кусочек покоится, массой пренебрегаем): \[T_x\,z'(x+\Delta x)-T_x\,z'(x)-\Delta f=0 .\] Подставим \(\Delta f\), разделим на \(T_x\,\Delta x\) и устремим \(\Delta x\to0\): \[z''=\frac{\mu}{R}.\] Мы сократили \(T_x\ne0\) — нить натянута.

Рис. 4. Малый кусочек нити в развёртке: натяжения на концах (бирюзовые) с составляющими, сила трения \(\Delta f\) вдоль \(z\) и нормальная реакция \(\Delta N\) (к нам, перпендикулярно плоскости). Рисунок схематичный: \(\Delta x\) и кривизна увеличены.

4. Форма нити. Дважды интегрируем с условиями в верхней точке: \(z(0)=0\), \(z'(0)=0\) (ветви петли слева и справа от \(O\) одинаковы, поэтому в \(O\) нить горизонтальна; это же требуется для замкнутости петли, \(z(\pi R)=z(-\pi R)\)). Получаем \[z'=\frac{\mu x}{R},\qquad z(x)=\frac{\mu x^2}{2R}.\] На развёртке нить — парабола (рис. 2). В точке \(P\), \(x=\pm\pi R\), наклон равен \(z'=\pm\pi\mu\), а \(z_P=\mu\pi^2R/2\). Сила тяги, приложенная в \(P\), уравновешивается вертикальными составляющими двух ветвей: \(F=2\,T_x\,\pi\mu\).

5. Длина нити. Нить идёт от \(P\) через \(O\) до \(P'\), и её длина \[L=\int\sqrt{dx^2+dz^2}=2\int\limits_0^{\pi R}\sqrt{1+z'^{\,2}}\,dx .\] Подставим \(z'=\mu x/R\) и введём \(\xi=\mu x/R\), \(dx=(R/\mu)\,d\xi\): \[L=\frac{R}{\mu}\cdot 2\int\limits_0^{\pi\mu}\sqrt{1+\xi^2}\,d\xi =\frac{R}{\mu}\Bigl[\pi\mu\sqrt{1+(\pi\mu)^2}+\sinh^{-1}(\pi\mu)\Bigr].\] Это длина петли, форма которой — парабола, найденная выше.

6. Почему эта длина критическая. Если петля не на грани скольжения, то трение покоя на каждом кусочке не превосходит предела, \(|\Delta f|\le\mu\,\Delta N\), то есть \(|z''|\le\mu/R\). Тогда при \(z'(0)=0\) получаем \(|z'(x)|\le\mu |x|/R\), и длина такой петли не больше найденной в пункте 5: \(L\le L_0\). Для каждой длины из интервала \(2\pi R\le L\le L_0\) равновесие возможно — берём \(z''=\kappa/R\) с \(\kappa\le\mu\) (при \(\kappa=0\) петля плоская, длина \(2\pi R\)). Для \(L>L_0\) равновесной формы нет, и петля скользит. Значит, критическая длина — это длина предельной параболы: \[L_0=\boxed{\pi R\sqrt{1+(\pi\mu)^2}+\frac{R}{\mu}\,\sinh^{-1}(\pi\mu)} .\]

Рис. 5. Критическая длина \(L_0/R\) в зависимости от коэффициента трения (по формуле выше). Выше кривой нить скользит, ниже — заклинена.

Проверка. При \(\mu\to0\) разложим \(\sinh^{-1}(\pi\mu)\approx\pi\mu-(\pi\mu)^3/6\) и \(\sqrt{1+(\pi\mu)^2}\approx1+(\pi\mu)^2/2\): \[L_0\approx\pi R+\frac{\pi^3\mu^2R}{2}+\pi R-\frac{\pi^3\mu^2R}{6}=2\pi R+\frac{\pi^3\mu^2R}{3}\to2\pi R,\] то есть без трения петля скользит при любой длине больше обхвата цилиндра. Размерность: \(L_0\propto R\). Для \(\mu=0{,}5\) получаем \(L_0\approx8{,}32\,R\), то есть на треть больше обхвата; прямое численное интегрирование длины параболы даёт то же число. С ростом \(\mu\) критическая длина растёт — сильнее трение, длиннее нужна петля, чтобы она поехала.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.