Задачи › Изопроцессы

Крупа в шприце

  1. Крупа в шприце

    ВсОШ 2024/25, 11 кл.
    5/10

    Оборудование: шприц 20 мл; пластиковая трубка; крупа в пластиковом стаканчике; мерная лента; канцелярский зажим; штатив с лапкой; 2 листа миллиметровой бумаги для построения графиков; малярный скотч (по требованию); пластиковая ёмкость с водой (воду можно попросить долить); салфетки или бумажные полотенца для поддержания чистоты рабочего места.

    Задание. С помощью выданного оборудования измерьте:

    1. площадь внутреннего поперечного сечения трубки \(S\) и оцените её погрешность \(\Delta S\);

    2. атмосферное давление \(p_{\text{атм}}\).

    Достаньте поршень из шприца. Если шприц внутри влажный, то тщательно удалите воду салфеткой. Поместите некоторое количество крупы в этот шприц. Верните поршень на место.

    Внимание! Зерна крупы очень быстро намокают и увеличивают свой объём, поэтому их НЕЛЬЗЯ мочить. Решения, допускающие контакт крупы с водой, не будут оцениваться. Дополнительные порции крупы выдаваться не будут.

    1. Определите пустотность \(\alpha\) крупы, т. е. отношение объёма воздуха между зёрнами к полному (насыпному) объёму, занимаемому крупой: \(\alpha = \dfrac{V_{\text{возд}}}{V_{\text{насып}}}\).

    Примечание 1. При выполнении работы отдельные компоненты из перечня оборудования можно размещать как на столе, так и на полу.

    Примечание 2. Погрешность в задаче требуется оценить только для площади поперечного сечения трубки в пункте 1.

    Примечание 3. Плотность воды считайте равной \(\rho = 1000\text{ кг/м}^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\text{ м/с}^2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Объём воды в трубке известен по шкале шприца, а её длина даёт сечение. Для давления воспользуйтесь законом Бойля — Мариотта для воздуха в шприце при разных положениях поршня и столба жидкости в трубке.

    Ответ

    1) \(S \approx 12{,}6\text{ мм}^2\), \(\Delta S = 0{,}5\text{ мм}^2\);  2) \(p_{\text{атм}} \approx 96\text{ кПа}\);  3) \(\alpha \approx 0{,}49\).

    Решение

    Площадь сечения. Набираем в шприц воду, присоединяем трубку и заполняем её водой объёмом \(V = 14\) мл без воздушных промежутков. Измеряем длину заполненного участка \(L\); тогда \(S = V/L\). Три измерения дают \(L_{\text{ср}} = 111{,}3\) см, отсюда \(S = 12{,}6\) мм\(^2\).

    Погрешность. Систематическая погрешность длины \(\Delta L_{\text{сист}} = 2\) мм (при аккуратных измерениях, иначе добавляется около 3 мм), случайная \(\Delta L_{\text{случ}} = \dfrac{1}{n}\sum|L_i - L_{\text{ср}}| = 2\) мм. Итоговая \(\Delta L = \sqrt{\Delta L_{\text{случ}}^2 + \Delta L_{\text{сист}}^2}\approx 3\) мм, \(\varepsilon_L = 0{,}3\%\). Погрешность объёма — половина цены деления шприца: \(\Delta V = 0{,}5\) мл, \(\varepsilon_V = 3{,}6\%\). Так как \(\varepsilon_V \gg \varepsilon_L\), \(\varepsilon_S \approx \varepsilon_V\), откуда \(\Delta S = \varepsilon_S S = 0{,}5\) мм\(^2\).

    Атмосферное давление. Поршень шприца устанавливаем на отметку \(V_0 = 20\) мл, поднимаем шприц вдоль мерной ленты и измеряем высоту столба воды в трубке \(h\) и длину участка с воздухом \(l\). Температура воздуха не меняется: \(p_{\text{атм}}V_0 = (p_{\text{атм}} - \rho g h + \Delta p)(V_0 + Sl + \Delta V)\). Отсюда \(\rho g h = p_{\text{атм}}\dfrac{Sl}{V_0+Sl} + A\), где \(A \approx\) const — смещение начальной точки из-за стыковки шприца с трубкой. График \(\rho g h(Y)\), \(Y = \dfrac{Sl}{V_0 + Sl}\), линеен; по нему \(p_{\text{атм}}\approx 96\) кПа.

    Пустотность. В шприц объёмом 20 мл насыпаем \(V_{\text{насып}} = 20\) мл крупы и плотно прижимаем поршнем. Аналогично измеряем \(h\) и \(l\). Температура постоянна: \(p_{\text{атм}}V_{\text{возд}} = (p_{\text{атм}} - \rho g h)(V_{\text{возд}} + Sl)\), а с учётом \(V_{\text{возд}} = \alpha V_{\text{насып}}\) получаем \(l = \alpha\,\dfrac{\rho g h\,V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)} - B\), где \(B\) — смещение начальной точки. График \(l(X)\), \(X = \dfrac{\rho g h V_{\text{насып}}}{S(p_{\text{атм}} - \rho g h)}\), даёт \(\alpha \approx 0{,}49\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх