Цилиндр, прижатый пластиной

Расстояние от шарнира до точки касания находится из построения (касательные к цилиндру). Моменты сил на пластину относительно шарнира дают силу \(N\); моменты на цилиндр относительно его центра связывают две силы трения.

\(M=m\dfrac{\sqrt3\,L}{8R}\left(\mu\sqrt3-1\right)\) при \(\mu>\dfrac{1}{\sqrt3}\).

Вначале определим расстояние \(x\) от шарнира до точки, где пластина касается цилиндра. Из построений на рисунке видно, что \[x=R\,\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}=R\sqrt3.\]

На пластину действует сила тяжести \(mg\), сила реакции опоры со стороны цилиндра \(N\), сила трения \(F_{\text{тр}}\) и некоторая удерживающая сила со стороны шарнира \(F_0\). Алгебраическая сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю: \[mg\dfrac{L}{2}\sin\alpha=Nx.\]

На цилиндр со стороны пластины и стены действуют силы реакции опоры \(N\) и \(N_1\), силы трения \(F_{\text{тр}}\) и \(F_{\text{тр}1}\) и сила тяжести \(Mg\). Требуется определить максимальную массу цилиндра, при которой возможно равновесие, поэтому сила трения покоя со стороны пластины должна быть максимальна и равна \(F_{\text{тр}}=\mu N\).

Запишем равенство моментов сил относительно центра цилиндра: \(F_{\text{тр}}R=F_{\text{тр}1}R\), так что \(F_{\text{тр}1}=F_{\text{тр}}=\mu N\).

Второй закон Ньютона для цилиндра в проекции на вертикальную ось принимает вид \[F_{\text{тр}}\cos\alpha+F_{\text{тр}1}-N\sin\alpha-Mg=0.\] Подставив значения \(F_{\text{тр}}\), \(F_{\text{тр}1}\), \(N\), находим ответ. Равновесие возможно, если равновесию цилиндра отвечает положительная величина его массы, то есть выполняется условие \(\mu>\dfrac{1}{\sqrt3}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.