Заряженное тело на наклонной плоскости в магнитном поле

Сила Лоренца прижимает тело к плоскости и уменьшает силу трения. Запишите второй закон Ньютона и заметьте, что приращение скорости связано с пройденным путём: \(\Delta V\sim\Delta x\). Отрыв — при \(N=0\).

\(x_{\max}=\dfrac{m^2g\cos\alpha}{\mu q^2B^2}\).

Для того, чтобы тело начало двигаться вверх по плоскости, к нему необходимо приложить силу \(F\ge mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\). Пусть в какой-то момент времени тело движется со скоростью \(V\). При этом на него действует сила \(F\), сила тяжести \(mg\), сила реакции опоры \(N\), сила трения \(F_f=\mu N\) и сила Лоренца \(qVB\), сонаправленная с силой реакции опоры.

Направим ось \(x\) вдоль плоскости вверх, ось \(y\) поперёк плоскости вверх. Пока тело не отрывается от плоскости, второй закон Ньютона в проекциях на оси записывается в виде \[y:\ N+qVB-mg\cos\alpha=0,\qquad x:\ ma=F-mg\sin\alpha-\mu N.\] Выражая отсюда ускорение, получаем \[ma=\dfrac{m\Delta V}{\Delta t}=F-mg\sin\alpha-\mu(mg\cos\alpha-qVB)\] или \[m\Delta V=(F-mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha)\Delta t+\mu qBV\Delta t=(F-mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha)\Delta t+\mu qB\Delta x.\] Отсюда получаем, что после прохождения расстояния \(x\) скорость тела \(V\ge\mu qBx/m\). Условие отсутствия отрыва \(N\ge0\), то есть \[qVB\le mg\cos\alpha. \tag{1}\] Чтобы получилась максимальная длина, скорость должна быть минимальной. Это достигается при минимально возможной силе \(F=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\). В таком случае \(V=\mu qBx/m\). Максимальная длина получается из условия равенства в соотношении (1): \(x_{\max}=\dfrac{m^2g\cos\alpha}{\mu q^2B^2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.