Собачка на поводке

Перейдите в систему хозяина: собачка удаляется со скоростью \(u-v\) и возвращается со скоростью \(u+v\). Отношение времён даёт связь \(u\) и \(v\); затем найдите время одного цикла «удаление — возвращение».

\(l=\dfrac{4S}{3(N+1)}\).

Пусть скорость хозяина \(v\), собачки \(u\), длина поводка \(l\). При движении вперёд собака относительно хозяина имела скорость \(u-v\), при движении назад \(u+v\). Время удаления собаки от хозяина вперёд \(t_1=l/(u-v)\), её возвращения назад к хозяину \(t_2=l/(u+v)\), так что \[\dfrac{t_1}{t_2}=\dfrac{u+v}{u-v}=2,\qquad u=3v.\] Время от одной встречи собачки с хозяином до другой \[\tau=t_1+t_2=\dfrac{l}{2v}+\dfrac{l}{4v}=\dfrac{3l}{4v}.\] Это время не зависит от того, в какую сторону собака удалялась от хозяина, вперёд или назад. Число удалений собаки от хозяина равно \(N+1\). Время движения хозяина \[\dfrac{S}{v}=(N+1)\tau.\] Выразив из последнего равенства \(l\), получаем ответ: \(l=\dfrac{4S}{3(N+1)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.