Ускоряющийся цилиндр с жидкостью и поршнем

Угол наклона поверхности жидкости найдите из геометрии (поверхность идёт от нижней точки поршня до верхней точки крышки), его тангенс равен \(a/g\). Ускорение жидкости справа от поршня создаётся разностью давлений газа по бокам; давления найдите по закону Бойля — Мариотта.

\(P=\dfrac{3\rho gR}{4}\).

Пусть высота цилиндра равна \(h\), тогда начальные объёмы, на которые поршень делит цилиндр, равны \(V=\pi R^2h/2\). Объёмы жидкости слева и справа от поршня одинаковы и равны \(V/3\). После смещения поршня объём части цилиндра слева от поршня уменьшился до \(2V/3\), при этом объём газа слева от поршня сделался равным объёму жидкости, и формы этих объёмов совпали. Если поверхность жидкости в левой части цилиндра касается нижней точки поршня, то в верхней своей точке она точно так же касается верхней точки левой крышки цилиндра.

Угол \(\alpha\), под которым поверхность жидкости наклонена к горизонтали, удовлетворяет равенству \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{6R}{h}\). Этот угол определяется ускорением цилиндра: горизонтальное ускорение \(a\) некоторой порции жидкости вблизи поверхности создаётся силой давления \(F_a\) (силой Архимеда), направленной перпендикулярно поверхности жидкости, и силой тяжести, действующей на эту порцию жидкости, \(mg\), так что \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{a}{g}\).

Ускорение \(a\) можно определить, рассматривая динамику жидкости справа от поршня. Масса этой жидкости \(m=\rho\pi R^2h/6\). Второй закон Ньютона для этой части жидкости имеет вид \(ma=(P_1-P_2)\pi R^2\). Начальное давление газа справа и слева от поршня одинаково и равно \(P\). Конечный объём газа слева от поршня равен \(V/3\), справа — \(V\). Записываем закон Бойля — Мариотта для левого объёма, \(\dfrac{2PV}{3}=\dfrac{P_1V}{3}\), и для правого объёма, \(\dfrac{2PV}{3}=P_2V\). Таким образом получаем выражения для давлений: \(P_1=2P\), \(P_2=\dfrac{2}{3}P\). Подставляя эти выражения во второй закон Ньютона, получаем выражение для ускорения \(a=\dfrac{8P}{\rho h}\). С другой стороны, это ускорение можно выразить через \(\mathrm{tg}\,\alpha\). Равенство этих ускорений записываем в виде \(\dfrac{8P}{\rho h}=\dfrac{6Rg}{h}\), откуда получаем ответ \(P=\dfrac{3\rho gR}{4}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.