Поршень с грузом в наклонном цилиндре

Скорость груза найдите из формулы дальности полёта, брошенного под углом \(\alpha\). Затем запишите первое начало термодинамики для газа и учтите работу против атмосферы и подъём поршня с грузом.

\(Q=\dfrac32\nu R\,(T_{\text{к}}-T)+\dfrac{(m+M)Lg}{2\sin2\alpha}+P\,S\,\Delta h\), где \(T_{\text{к}}\) — температура газа в конце нагрева.

Скорость груза в момент отрыва находим из дальности полёта: \[L=\frac{2(v\cos\alpha)(v\sin\alpha)}{g}\ \Rightarrow\ v^2=\frac{Lg}{\sin2\alpha}.\] Первое начало термодинамики: \(Q=A+\Delta U\). Работа газа складывается из подъёма поршня с грузом на \(\Delta h\) (с разгоном до скорости \(v\)) и работы против атмосферы: \[Q=\Delta U+\frac{(m+M)v^2}{2}+(m+M)g\,\Delta h\sin\alpha+P_{\text{атм}}S\,\Delta h.\] Давление под поршнем \(P=P_{\text{атм}}+\dfrac{(m+M)g\sin\alpha}{S}\); подставляя \(P_{\text{атм}}\), получаем \[Q=\Delta U+\frac{(m+M)v^2}{2}+P\,S\,\Delta h.\] Изменение внутренней энергии одноатомного газа \(\Delta U=\dfrac32\nu R\,(T_{\text{к}}-T)\). Итого \[Q=\frac32\nu R\,(T_{\text{к}}-T)+\frac{(m+M)Lg}{2\sin2\alpha}+P\,S\,\Delta h.\]

Примечание организаторов: количество вещества можно считать известным или равным единице. Решение, где вся теплота ушла на работу по подъёму и ускорению поршня с грузом, оценивается в 7 баллов. Введение необходимой \(T_{\text{к}}\) (или использование \(P_{\text{к}}\)), не данных в условии, считается верным.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.