Снаряд, разорвавшийся на два осколка

После взрыва скорости осколков противоположны, поэтому у одного из них траектория — это траектория другого, пройденная в обратную сторону. Запишите уравнение траектории и вспомните, что точки падения — его корни: теорема Виета даст сумму и произведение корней.

\(h=\dfrac{L_1L_2}{L_1+L_2}\,\text{tg}\,\alpha\).

Из закона сохранения импульса следует, что скорости осколков противоположны. Поскольку изменение знака скорости эквивалентно отражению времени, оба осколка летят по одной траектории в противоположные стороны.

Уравнение траектории получается исключением времени из \[x=v\cos\alpha\cdot t,\qquad y=v\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}: \qquad y=x\,\text{tg}\,\alpha-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\alpha}.\] Оба расстояния \(x=L_1\) и \(x=L_2\) являются корнями уравнения \[h=x\,\text{tg}\,\alpha-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\alpha}.\] По теореме Виета \[L_1+L_2=\frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g},\qquad L_1L_2=\frac{2hv^2\cos^2\alpha}{g},\] откуда \(h=\dfrac{L_1L_2}{L_1+L_2}\,\text{tg}\,\alpha\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.