Распад дейтрона при ударе альфа-частицы

Импульсы протона и нейтрона одинаковы по модулю, так как они симметричны. Запишите законы сохранения импульса и энергии, и условие существования действительного решения для импульса протона.

Пусть \(\vec P_0\), \(\vec P_1\) — начальный и конечный импульсы \(\alpha\)-частицы, \(\vec P_2\) и \(\vec P_3\) — импульсы протона и нейтрона, \(m\) — масса протона. Закон сохранения импульса \(\vec P_0 = \vec P_1 + \vec P_2 + \vec P_3\) в проекциях на направление \(\vec P_0\) и перпендикулярное ему даёт \(P_2 = P_3\) и \(P_1 = P_0 - 2P_2\cos\beta\).

Закон сохранения энергии: \(\dfrac{P_0^2}{8m} = \dfrac{P_1^2}{8m} + \dfrac{2P_2^2}{2m} + E\), откуда \(P_0^2 = P_1^2 + 8P_2^2 + 8mE\). Подставляя \(P_1\), получаем квадратное уравнение \[(2 + \cos^2\beta)P_2^2 - P_0\cos\beta\,P_2 + 2mE = 0.\] Действительные корни существуют при \(D \ge 0\), т.е. при \[P_0^2 \ge 8mE\,\frac{2 + \cos^2\beta}{\cos^2\beta}.\] Так как \(K = P_0^2/(8m)\), получаем \(K \ge E\,\dfrac{2 + \cos^2\beta}{\cos^2\beta}\). Отсюда \[x = \frac{K}{E} = \frac{2 + \cos^2\beta}{\cos^2\beta} = 2\,\mathrm{tg}^2\beta + 3.\] При \(\beta = 60^\circ\) имеем \(\mathrm{tg}^2\beta = 3\), поэтому \(x = 9\).