Максимум мощности в мостовой цепи

Вольтметр не влияет на токи. Найдите токи в ветвях и мощность на \(xR\) как функцию \(x\), затем её максимум (удобно ввести \(y = 1/(3x+5)\)).

Вольтметр не пропускает ток, поэтому общее сопротивление цепи \(R_0 = \dfrac{R(3x+5)}{x+3}\) и ток через батарею \(I = \dfrac{\varepsilon(x+3)}{R(3x+5)}\). Обозначим токи в ветвях \(ABC\) и \(ADC\) через \(I_1\) и \(I_2\). Из \(I_1 + I_2 = I\) и равенства напряжений между точками \(A\) и \(C\), \(I_1(x+1)R = 2I_2R\), находим \[I_1 = \frac{2\varepsilon}{R(3x+5)}, \qquad I_2 = \frac{\varepsilon(x+1)}{R(3x+5)}.\] Тепловая мощность на \(xR\): \[P = I_1^2\,xR = \frac{4\varepsilon^2}{3R}\cdot\frac{3x+5-5}{(3x+5)^2} = \frac{4\varepsilon^2}{3R}\left(y - 5y^2\right), \qquad y = \frac{1}{3x+5}.\] Максимум квадратного трёхчлена достигается при \(y = 1/10\), т.е. \(3x + 5 = 10\), \(x = 5/3\). Тогда \(I_1 = \dfrac{\varepsilon}{5R}\), \(I_2 = \dfrac{4\varepsilon}{15R}\).

Вольтметр показывает разность потенциалов точек \(D\) и \(B\): \(V = (I_2 - I_1)R = \dfrac{\varepsilon}{15} \approx 0{,}53\) В.