Груз на стержне с пружиной

Запишите энергию системы при малом отклонении: груз опускается на \(x\), точка \(A\) — на \(x_1 = xd/L\), и сжатие пружины меняется на \(x_1\). Линейные по \(x\) слагаемые сокращаются с силой тяжести, благодаря равновесию.

Из равенства моментов силы тяжести и силы упругости относительно \(O\) находим сжатие пружины в равновесии: \(mgL = kx_0d\), \(x_0 = \dfrac{mgL}{kd}\).

Пусть стержень отклонился на малый угол \(\varphi\), груз опустился на \(x\), точка \(A\) опустилась на \(x_1 = \dfrac{xd}{L}\). Энергия системы (потенциальная энергия груза отсчитана от положения равновесия) \[E = \frac{mV^2}{2} + \frac{k(x_0 + x_1)^2}{2} - mgx = \frac{mV^2}{2} + \frac{k x_0^2}{2} + \frac{k d^2 x^2}{2L^2}.\] Линейные по \(x\) слагаемые выпали. Дифференцируя по времени, получаем уравнение \[a + \frac{k d^2}{m L^2}\,x = 0,\] то есть гармонические колебания с круговой частотой \(\omega = \dfrac{d}{L}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\). Тогда \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\frac{L}{d}\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\cdot 3\cdot\sqrt{\frac{0{,}2}{400}} \approx 0{,}42~\text{с}.\]