Альфа-частица и дейтрон

Запишите законы сохранения импульса (в проекциях) и энергии. Из условия существования действительных корней для импульса протона найдите минимальную начальную энергию.

Обозначим \(\vec P_0\), \(\vec P_1\) — начальный и конечный импульсы \(\alpha\)-частицы, \(\vec P_2\) и \(\vec P_3\) — импульсы протона и нейтрона; масса протона \(m\), масса \(\alpha\)-частицы \(4m\). Закон сохранения импульса: \(\vec P_0 = \vec P_1 + \vec P_2 + \vec P_3\). Ось \(x\) направим вдоль \(\vec P_0\). В проекциях на оси: \(P_2\sin\beta = P_3\sin\beta \Rightarrow P_2 = P_3\), и \(P_0 = P_1 + 2P_2\cos\beta \Rightarrow P_1 = P_0 - 2P_2\cos\beta\).

Закон сохранения энергии: \[\dfrac{P_0^2}{8m} = \dfrac{P_1^2}{8m} + 2\cdot\dfrac{P_2^2}{2m} + E \quad\Rightarrow\quad P_0^2 = P_1^2 + 8P_2^2 + 8mE.\] Подставляя \(P_1\), получаем квадратное уравнение относительно \(P_2\): \[\bigl(2 + \cos^2\beta\bigr)P_2^2 - P_0\cos\beta\,P_2 + 2mE = 0.\] Дискриминант \(D = P_0^2\cos^2\beta - 4\bigl(2 + \cos^2\beta\bigr)\cdot 2mE\). Условие \(D \ge 0\) даёт \[P_0^2 \ge \dfrac{8mE\bigl(2 + \cos^2\beta\bigr)}{\cos^2\beta}.\] Для начальной кинетической энергии \(\alpha\)-частицы \(K = \dfrac{P_0^2}{8m}\) получаем неравенство \(K \ge \dfrac{E(2 + \cos^2\beta)}{\cos^2\beta}\). Минимальное значение \[x = \dfrac{K}{E} = \dfrac{2 + \cos^2\beta}{\cos^2\beta} = \dfrac{2}{\cos^2\beta} + 1 = 2\left(\mathrm{tg}^2\beta + 1\right) + 1 = 2\,\mathrm{tg}^2\beta + 3.\] При \(\beta = 60^\circ\): \(x = 2\cdot 3 + 3 = 9\).