Мост с переменным резистором и вольтметром

Вольтметр не пропускает ток, поэтому его можно не учитывать при расчёте токов. Выразите мощность на \(xR\) через \(x\) и найдите её максимум.

Так как сопротивление вольтметра бесконечно велико, ток через него не идёт. Найдём сначала ток \(I\) через батарею. Общее сопротивление цепи \[R_0 = R + \dfrac{(x+1)R\cdot 2R}{(x+1)R + 2R} = \dfrac{R(3x+5)}{x+3}, \qquad I = \dfrac{\varepsilon}{R_0} = \dfrac{\varepsilon(x+3)}{R(3x+5)}.\] Обозначим через \(I_1\) и \(I_2\) токи в ветвях \(ABC\) и \(ADC\). В узле \(A\): \(I_1 + I_2 = I\). Приравнивая напряжения между точками \(A\) и \(C\), получаем \(I_1(x+1)R = I_2\cdot 2R\), откуда \[I_1 = \dfrac{2I}{x+3} = \dfrac{2\varepsilon}{R(3x+5)}, \qquad I_2 = \dfrac{\varepsilon(x+1)}{R(3x+5)}.\]

Тепловая мощность на сопротивлении \(xR\): \[P = I_1^2\, xR = \dfrac{4\varepsilon^2 x}{R(3x+5)^2} = \dfrac{4\varepsilon^2}{3R}\left(\dfrac{1}{3x+5} - \dfrac{5}{(3x+5)^2}\right).\] Введём \(y = \dfrac{1}{3x+5}\): \(P = \dfrac{4\varepsilon^2}{3R}\,(y - 5y^2)\). Максимум достигается при \(y = 1/10\), то есть \(3x + 5 = 10\), \(x = 5/3\). При этом \(I_1 = \dfrac{\varepsilon}{5R}\), \(I_2 = \dfrac{4\varepsilon}{15R}\).

Напряжение на вольтметре через потенциалы точек \(B\), \(C\), \(D\): \(V = \varphi_D - \varphi_B = \varphi_D - \varphi_C + \varphi_C - \varphi_B\), где с учётом направлений токов \(\varphi_D - \varphi_C = I_2 R\), \(\varphi_C - \varphi_B = -I_1 R\). Окончательно \[V = (I_2 - I_1)R = \dfrac{\varepsilon}{15} = 0{,}53\text{ В}.\]