Электрон на границе двух магнитных полей

Радиус полуокружности в поле \(B\) равен \(mV/(eB)\), поэтому время на каждой полуокружности легко выразить через \(B\). Найдите, за какой повторяющийся сегмент смещение электрона вдоль границы вырастает на один шаг, и разделите полное смещение на полное время.

\(v_{\text{ср}}=\dfrac{V}{\pi}\) (при направлениях полей, как в авторском решении; при противоположном направлении поля \(B_2\) ответ меняет знак, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{2V}{\pi}\) — ответ по примечанию организаторов).

Радиусы полуокружностей: \(R_1=\dfrac{mV}{eB}\) (верхняя область, поле \(B\)), \(R_2=\dfrac{mV}{2eB}\) (нижняя область, поле \(2B\)), \(R_3=\dfrac{2mV}{eB}\) (верхняя область, поле \(0{,}5B\)). Времена на полуокружностях: \[t_1=\frac{\pi R_1}{V}=\frac{\pi m}{eB},\qquad t_2=\frac{\pi R_2}{V}=\frac{\pi m}{2eB},\qquad t_3=\frac{\pi R_3}{V}=\frac{2\pi m}{eB}.\] Заметим, что \(t_1+2t_2=t_3\). Тогда повторяющийся сегмент — \(R_1\to R_2\to R_3\to R_2\), период движения \(T=t_1+2t_2+t_3\) (рисунок траектории — из официального решения, на условии его нет).

Смещение за один сегмент вдоль границы: \[\frac{\pi R_1}{V}+\frac{2\pi R_2}{V}=\frac{R_3}{V}\ \Rightarrow\ R_1+2R_2=R_3,\] поэтому смещение за \(N\) сегментов \[l=2\left(R_1-2R_2+R_3\right)N=2\left(R_1-2R_2+R_1+2R_2\right)N=4R_1N.\] Полное время \[T_{\text{полн}}=\frac{N}{V}\left(\pi R_1+2\pi R_2+\pi R_3\right)=\frac{4\pi NR_1}{V}.\] Итак, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{l}{T_{\text{полн}}}=\dfrac{4R_1NV}{4\pi NR_1}=\dfrac{V}{\pi}\).

Примечание организаторов: если направление полей задано не как в авторском решении, меняется знак при вычислении \(l\), и ответ может быть равен \(\dfrac{2V}{\pi}\) (поле \(B_2\) направлено против других полей).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.