Царская

Работайте в единицах «расстояние усадьба–дворец = 1» и «день»: встречи гонцов с боярином — это задачи на сближение и удаление с известными скоростями. Проследите положение боярина в конце каждого дня.

Пусть расстояние между усадьбой и дворцом равно \(L = 1\) царской единице длины (ц.е.д.). Введём координатную ось: усадьбе соответствует точка \(0\), дворцу — точка \(1\). Время будем измерять в днях. Скорость боярина в наших единицах равна \(v = \frac14\) ц.е.д./день, а скорость гонца — \(u = 1\) ц.е.д./день.

Первый день уйдёт на доставку приказа немедленно явиться. За второй день боярин проедет одну четверть царской единицы, то есть окажется в точке \(x_0 = \frac14\) ц.е.д. В третий день начинает движение второй гонец. Скорость сближения гонца и боярина равна \(u + v\), поэтому их встреча произойдёт через время \[t_1 = \frac{L - x_0}{u + v} = \frac{\left(1 - \frac14\right)\text{ ц.е.д.}}{\left(1 + \frac14\right)\text{ ц.е.д./день}} = \frac35~\text{дня}.\] В момент первого разворота боярин будет находиться в точке \[x_{р1} = x_0 + v t_1 = \frac14 + \frac14\cdot\frac35 = \frac25~\text{ц.е.д.}\] Остаток третьего дня (\(1\) день \(- t_1\)) боярин едет назад, поэтому к концу третьего дня он окажется в точке \[x_3 = x_{р1} - v(1 - t_1) = \frac25 - \frac14\left(1 - \frac35\right) = \frac{3}{10}~\text{ц.е.д.}\] В четвёртый день начинает движение третий гонец. Он догоняет боярина, значит скорость их сближения равна \(u - v\), и встреча произойдёт через время \[t_2 = \frac{L - x_3}{u - v} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{1 - \frac14} = \frac{14}{15}~\text{дня}.\] В момент второго разворота боярин находится в точке \[x_{р2} = x_3 - v t_2 = \frac{3}{10} - \frac14\cdot\frac{14}{15} = \frac{1}{15}~\text{ц.е.д.}\] Остаток четвёртого дня (\(1\) день \(- t_2\)) боярин едет вперёд, поэтому к концу четвёртого дня он окажется в точке \[x_4 = x_{р2} + v(1 - t_2) = \frac{1}{15} + \frac14\cdot\frac{1}{15} = \frac{1}{12}~\text{ц.е.д.}\] Чтобы доехать до дворца, боярину потребуется ещё \[t_3 = \frac{L - x_4}{v} = \frac{1 - \frac{1}{12}}{\frac14} = \frac{11}{3}~\text{дня}.\] Всего с момента отправления первого гонца пройдёт \(T = 4 + t_3 = 7\frac{2}{3}\) дня.

Ответ: боярин приедет во дворец через \(7\) дней \(16\) часов.