Остывание пирамиды

Скорость остывания тела пропорциональна отношению площади, через которую уходит тепло, к массе тела. Сравните это отношение для кубика и для пирамиды, учитывая, какие грани касаются пола и друг друга.

В условии сказано, что количество тепла в единицу времени, которое уходит в окружающую среду через единицу площади, пропорционально разности температур. Рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta t\), в течение которого температуру тела можно считать постоянной. Тепло, которое тело отдало в окружающую среду, равно \[\Delta Q = \alpha S (T_{\text{тела}} - T_{\text{комнаты}})\,\Delta t,\] где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(S\) — площадь, через которую уходит тепло.

Пусть удельная теплоёмкость материала равна \(c\), а масса тела \(m\). Воспользуемся тем, что \(\Delta Q = c m \Delta T\), и перепишем закон: \[c m\,\Delta T = \alpha S (T_{\text{тела}} - T_{\text{комнаты}})\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{\alpha}{c}\cdot\frac{S}{m}\cdot(T_{\text{тела}} - T_{\text{комнаты}}).\] Отсюда скорость изменения температуры прямо пропорциональна отношению площади тела к его массе \(S/m\). Посчитаем эту величину для кубика, учитывая, что тепло уходит только через поверхность, граничащую с воздухом (то есть через 5 граней из 6): \[\frac{S_{\text{кубик}}}{m_{\text{кубик}}} = \frac{6a^2 - a^2}{a^3\rho} = 5\cdot\frac{1}{a\rho},\] где \(\rho\) — плотность.

Теперь проделаем такие же вычисления для пирамиды. Нижний кубик одной гранью лежит на теплоизолирующем полу и ещё одной соприкасается со средним, поэтому в нижнем кубике тепло уходит через площадь \[S_1 = 6(3a)^2 - (3a)^2 - (2a)^2 = 41a^2.\] Средний кубик одной гранью соприкасается с нижним и одной с верхним, поэтому в нём тепло уходит через площадь \[S_2 = 6(2a)^2 - (2a)^2 - a^2 = 19a^2.\] Верхний кубик соприкасается только со средним, поэтому с воздухом граничит площадь \[S_3 = 6a^2 - a^2 = 5a^2.\] Суммарная площадь, через которую уходит тепло, равна \(S_1 + S_2 + S_3\), а масса складывается из масс трёх кубиков. Поэтому искомое отношение равно \[\frac{S_{\text{пирамиды}}}{m_{\text{пирамиды}}} = \frac{41a^2 + 19a^2 + 5a^2}{(3a)^3\rho + (2a)^3\rho + a^3\rho} = \frac{65}{36}\cdot\frac{1}{a\rho}.\] Конструкции изготовлены из одного материала, поэтому равны их плотности и удельные теплоёмкости. Значит, скорость остывания кубика больше скорости остывания пирамиды в \[\frac{5}{65/36} = \frac{36}{13} \approx 2{,}8\] раза. Поэтому если кубик остывает на \(1\,^{\circ}\)C за 10 секунд, то пирамида остынет на \(1\,^{\circ}\)C за \(28\) секунд.

Ответ: пирамида остынет за 28 секунд.