Встреча шариков

Найдите время до встречи и высоту встречи из уравнений движения двух шариков. При упругом ударе одинаковых шариков они обмениваются скоростями, так что после удара первый шарик летит с той скоростью, которая была у второго. Энергетический баланс второго шарика даёт скорость у земли.

Уравнения движения шариков до соударения: \(h_1 = V_0\tau_1 - \dfrac{g\tau_1^2}{2}\) и \(h_1 = H - u\tau_1 - \dfrac{g\tau_1^2}{2}\). Отсюда время до встречи \(\tau_1 = \dfrac{H}{V_0 + u}\), а высота встречи \[h_1 = \frac{HV_0}{V_0 + u} - \frac{g}{2}\left(\frac{H}{V_0 + u}\right)^2.\] Проекции скоростей в точке встречи: \(V_{11} = V_0 - g\tau_1\) и \(V_{21} = -u - g\tau_1\).

Удар абсолютно упругий между одинаковыми шариками, поэтому скорости обмениваются: проекция скорости первого шарика после удара \(V'_{11} = V_{21} = -u - \dfrac{gH}{V_0 + u}\) (вниз).

По закону сохранения энергии модуль скорости первого шарика у поверхности Земли \(V''_{11} = \sqrt{u^2 + 2gH}\) (второй шарик стартовал с высоты \(H\) со скоростью \(u\)).

Время полёта от точки удара до поверхности найдём из уравнения \(\sqrt{u^2 + 2gH} = \left(u + \dfrac{gH}{V_0 + u}\right) + g\tau'\), где скобка — модуль скорости первого шарика сразу после удара: \[\tau' = \frac{\sqrt{u^2 + 2gH} - u}{g} - \frac{H}{V_0 + u}.\]