Задачи › Уравнение состояния

Бак с поршнем и гелием

  1. Бак с поршнем и гелием

    «Газпром» 2021/22, 10 кл.
    3/10

    Кубический бак с жёсткими стенками, длина ребра которого составляет \(a = 1\) м, разделяется тонким лёгким недеформируемым поршнем, перемещающимся в вертикальном направлении без трения. Первоначально бак полностью заполнен водой массой \(M = 1000\) кг. Какую массу гелия нужно закачать в пространство над поршнем, чтобы поршень сдвинулся на расстояние \(\Delta h = 1\) мм? Температуры гелия и воды одинаковы, постоянны и равны \(t = 27\,^\circ\text{C}\). Молярная масса гелия \(\mu = 4\) г/моль, значение универсальной газовой постоянной \(R = 8{,}31\) Дж/(К\(\cdot\)моль). Сжимаемость воды (относительное изменение объёма при изотермическом увеличении давления) составляет \(\varepsilon = 5\cdot 10^{-10}\) Па\(^{-1}\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поршень сдвигается, потому что вода сжимается. Найдите относительное сжатие воды через смещение поршня, затем давление по сжимаемости и массу гелия по уравнению Клапейрона–Менделеева.

    Ответ

    \(m \approx 3{,}2\) г.

    Решение

    При смещении поршня на \(\Delta h\) объём воды уменьшается на \(a^2\Delta h\), поэтому относительное изменение объёма воды \(\delta = \dfrac{a^2\Delta h}{a^3} = \dfrac{\Delta h}{a}\).

    Давление гелия над поршнем, которое сжимает воду на эту величину: \(p = \dfrac{\delta}{\varepsilon} = \dfrac{\Delta h}{a\varepsilon}\).

    По уравнению Клапейрона–Менделеева для объёма \(V' = a^2\Delta h\): \[m = \frac{\mu pV'}{RT} = \frac{\mu a (\Delta h)^2}{\varepsilon R T} \approx 3{,}2~\text{г}.\]

    Ответ: \(m \approx 3{,}2\) г.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх