Цилиндры

Question

Есть два цилиндрических геометрически подобных сосуда, изготовленных из одного и того же материала, плотность которого больше плотности воды. Сосуды тонкостенные, но с массивным дном. Их линейные размеры относятся как $2:1$. Больший сосуд стоит на горизонтальном столе и заполнен водой; в нём плавает (естественно, не касаясь дна) меньший сосуд, также заполненный водой. Известно, что объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма. Толщина дна каждого сосуда равна $\dfrac{1}{k}$ его высоты, где $k>1$. Плотность воды равна $1000\text{ кг/м}^3$.

Пусть $k=4$. Определите диапазон возможных значений плотности $\rho$ материала сосудов.
При каких значениях $k$ не существует ответа на вопрос предыдущего пункта?
Предположим, что число сосудов увеличилось до $N$. $N$-й сосуд стоит на столе и заполнен водой; в нём плавает $(N-1)$-й сосуд, в нём — $(N-2)$-й и так далее. Линейные размеры сосудов относятся как $N:(N-1):(N-2):\dots:2:1$. Объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма.

Утверждается, что при заданном значении $k$ ($k>2$) и некотором значении $\rho$ ($\rho>\rho_0$) такая система сосудов может существовать в равновесии (возможно, неустойчивом) для любого $N\geqslant3$.

Верно ли это утверждение?

При решении может оказаться полезной формула для суммы кубов натуральных чисел \[1+8+27+\dots+n^3=\sum_{a=1}^{n}a^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\]

Accepted Answer

1) $1000\text{ кг/м}^3 < \rho < 2500\text{ кг/м}^3$; 2) $k \leqslant 1{,}6$; 3) утверждение неверно.

Цилиндры

Похожие задачи