Измерение сопротивлений с помощью Micro:bit

В этой задаче вы будете определять сопротивление резистора с помощью встроенного в Micro:bit АЦП (аналого-цифрового преобразователя) для считывания напряжения, несмотря на то что его точность ограничена. Главное — минимизировать ошибку измерений на имеющемся оборудовании. Вам выдано три контроллера Micro:bit, чтобы скомпенсировать возможные погрешности в их работе. В целом эта задача о преодолении ограничений установки и получении достоверных результатов.

Оборудование

1. Макетная плата: Макетная плата состоит из линий питания, проходящих по обоим внешним краям, где разъёмы соединены в вертикальные столбцы для подачи питания (\(+\)) и земли (\(-\)). Центральная область для компонентов имеет внутренние соединения в виде горизонтальных рядов, состоящих из пяти разъёмов каждый (A—E и F—J). Эти левая и правая группы по пять разъёмов полностью изолированы друг от друга центральной перегородкой.

2. Высокоточные резисторы (A, B, C и D): компоненты с допуском \(0.1\%\), где резисторы с известным сопротивлением служат в качестве эталонных «истинных значений» для проверки точности системы, а резисторы с неизвестным сопротивлением закрыты цветными трубками. Их значения и нужно определить в эксперименте. Снимать трубки с «неизвестных» сопротивлений категорически запрещено!

• Набор резисторов A: десять резисторов \(3.3 ~кОм\).

• Набор резисторов B (в данном эксперименте не используется): резистор \(6.8 ~кОм\), резистор \(560 ~Ом\) и резистор неизвестного номинала (закрыт зеленой трубкой) (в данном эксперименте не используется).

• Набор резисторов C: один резистор \(12 ~ кОм\) и два резистора неизвестного номинала (один закрыт синей трубкой, а другой — красной).

• Набор резисторов D: один резистор \(510 ~ кОм\) и резистор неизвестного номинала (закрытый черной трубкой).

3. Набор Micro:bit: контроллер Micro:bit, выводная плата (3a), три предварительно вставленные перемычки (3b, 3c, 3d) и батарейный отсек (3e) с батарейками.

Измерение потенциала с помощью Micro:bit

Как подключать провода (см. рис. 1)

Подключите три перемычки от выводной платы в соответствии с их вертикальным расположением:

• 3b: Верхняя перемычка (верхний контакт выводной платы на рис. 1). Вставьте его в разъём, где необходимо измерить потенциал.

• 3c: Средняя перемычка (средний контакт выводной платы на рис. 1). Подключите ко входу питания схемы (\(V_c\), \(+\)).

• 3d: Нижняя перемычка (нижний контакт выходной платы на рис. 1). Подключите к земле (\(GND\), \(-\)) схемы.

Рис. 1

Порядок проведения измерений

1. Настройка питания: сначала подключите нижнюю (GND) и среднюю (\(V_c\)) перемычки, а затем включите батарейки.

2. Измерительный контакт: при включенном питании вставьте верхнюю перемычку в необходимый разъём.

3. Вывод данных: нажмите кнопку A или B на передней панели Micro:bit и запишите прокручивающееся цифровое значение (\(N\)).

Важные примечания

• Когда устройство не используется, отключайте питание для экономии заряда.

• Проверка системы: Подключите цепь, как показано на рис. 1. При присоединении верхней перемычки к GND показание должно быть близко к 0. При присоединении верхней перемычки ко входу питания схемы (\(V_c\)) показание должно быть близко к 1023. Проверка обеих точек позволяет убедиться, что нулевой уровень и полный диапазон измерений откалиброваны правильно. Если измеренные значения значительно отличаются от указанных выше, вероятно, это связано с ошибкой в подключении или плохим контактом.

• Предотвращение короткого замыкания: убедитесь, что средняя (\(V_c\)) и нижняя (\(GND\)) перемычки не соприкасаются напрямую. В случае неисправности измерения станут недоступны, а на дисплее отобразится сообщение об ошибке. В таких случаях вам могут заменить максимум один Micro:bit.

• Запрет на одновременное использование: использование более одного контроллера Micro:bit в одной цепи может повредить их. Так делать категорически запрещено.

• Линейное отображение: если не учитывать эффекты дискретности, в идеальной модели АЦП между напряжением на узле и целочисленным результатом измерения \(N\) существует прямая пропорциональность. То есть в идеальной модели АЦП потенциалы в диапазоне от 0 до \(V_c\) прямо пропорциональны цифровым значениям в диапазоне от 0 до 1023.

Часть A. Анализ измерений АЦП (1.2 балла)

Цель задачи — изучить взаимосвязь между цифровым выводом Micro:bit (\(N\)) и потенциалом узла (\(V\)). Собрав схему из восьми одинаковых резисторов из «Набора резисторов A», вы проверите, действительно ли встроенный АЦП соответствует идеальной линейной модели. В процессе измерений считайте, что измерительная перемычка Micro:bit является идеальным щупом, который не нарушает распределение потенциала в цепи. Считая, что все резисторы одинаковые, нужно сделать вывод, действительно ли значение потенциала прямо пропорционально показаниям АЦП.

A1. Нарисуйте измерительную схему, с помощью которой можно проверить линейную связь между потенциалом и показаниями АЦП. Придерживайтесь следующих требований:

Отметьте все узлы, в которых будут производиться измерения потенциала, и присвойте каждому из них уникальное обозначение (например, \(a,b,\ldots\)).

Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания Micro:bit (\(V_c\), \(GND\)) и цепью как \(V_c\) и \(GND\), соответственно.

A2. Соберите схему и проведите измерения для всех её узлов. Используйте только один контроллер Micro:bit. Рассчитайте разности в измерениях АЦП между соседними узлами для проверки линейности. Проверьте линейность, считая, что максимально допустимое отклонение не должно превышать \(2\%\) (наибольшее отклонение среди всех точек от среднего значения).

По завершении части A оставьте только два резистора, использованных в эксперименте, а все остальные верните в пакет (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть B. Прямые измерения и погрешности (3.5 балла)

Цель этой части задачи — оценить значение неизвестного сопротивления \(r\), по эталонному значению \(R\) и выходному сигналу Micro:bit. Для анализа сделаны следующие допущения:

• Линейность АЦП: Предполагается, что встроенный АЦП обеспечивает линейную зависимость между напряжением и цифровым выходом \(N\).

• Обозначения калибровочных констант: \(N_{L}\) и \(N_{H}\) обозначают показания на узлах \(GND\) и \(V_c\) соответственно. (В идеальном случае \(N_{L} = 0\) и \(N_{H} = 1023\)).

• Установка: выберите любые два резистора из части A: один из них используйте в качестве эталонного (\(R\)), а другой в качестве неизвестного (\(r\)).

B1. Нарисуйте измерительную схему для измерения сопротивления неизвестного резистора (\(r\)), используя эталонный резистор (\(R\)).

Примечание: эталонный резистор \(R\) должен быть напрямую подключен к узлу GND. Обозначьте все измерительные узлы буквами и укажите все используемые величины на схеме. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\), соответственно.

B2. Для полученного делителя напряжения получите выражение для расчета неизвестного сопротивления. Запишите все необходимые уравнения, получите выражение через выходные значения АЦП, \(N_L\), \(N_H\) и т.д. Пере пишите формулу для случаев \(N_L = 0\) и \(N_H =1023\).

B3. Соберите схему и проведите измерения с использованием трех контроллеров Micro:bit. Каждым устройством получите полный набор измерений для своей схемы (для всех узлов). Считая, что истинные значения обоих сопротивлений равны \(3.3~кОм\), рассчитайте среднюю относительную погрешность (\(\bar{\epsilon}\)), усредненную по трем АЦП. Рассчитайте также относительное стандартное отклонение (RSD) найденных значений сопротивления. Средняя относительная погрешность — это средняя величина отклонения между измеренными и истинными значениями, нормированная по истинному значению. RSD — это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению.

B4. Теперь проанализируйте, как приборная погрешность измерения АЦП (\(e\)) влияет на точность определения сопротивления. Для простоты примем, что \(N_{L}=0\) и \(N_{H}=1023\). Выразите погрешность \(\Delta r\) сопротивления через \(N\), \(e\) и \(R\). Считайте, что \(e\) достаточно мало по сравнению с \(N\).

B5. Пусть погрешность АЦП равна \(e=1\), рассчитайте требуемый диапазон \(r/R\), при котором относительная погрешность сопротивления (\({\Delta r}/{r}\)) остается в пределах \(1\%\).

По завершении части B верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть C. Учет ошибки дискретизации при измерениях (1.9 балла)

Цель этой части задачи — добиться более точной оценки сопротивления, когда прямой метод из части B оказывается недостаточным из-за ошибки дискретизации. Ошибка дискретизации — это разница между непрерывным входным сигналом и его оцифрованным представлением, возникающая из-за конечного разрешения АЦП. Когда отношение сопротивлений (\(r/R\)) значительно отклоняется от 1, ошибка дискретизации (погрешность из-за того, что АЦП выводит целое значение) заметно возрастает, что приводит к существенным погрешностям в определении сопротивления. В этой части используется набор резисторов C.

C1. Используя эталонный резистор (\(12~кОм\)) из набора резисторов C, вычислите сопротивления неизвестных резисторов \(r_1\) (синяя трубка) и \(r_2\) (красная трубка). Используйте метод из части B. Сделайте это только для одного из трех Micro:bit.

C2. Точность результата, полученного в C1 для резистора \(r_2\) (красная трубка), неудовлетворительна. Нарисуйте схему цепи, содержащую \(R\), \(r_1\), \(r_2\), которая позволяет более точно определить \(r_2\).

Примечание: На всех схемах должны быть четко обозначены все узлы, в которых вы снимаете значения, и используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\) соответственно.

C3. Вычислите \(r_2\) из эксперимента, предложенного вами в C2. Рассчитайте сопротивление для каждого из трех Micro:bit и вычислите разницу между максимальным и минимальным значениями полученного сопротивления.

После завершения части C верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов C), чтобы они не мешались.

Часть D. Дополнительные факторы при измерениях (3.4 балла)

Набор резисторов D содержит известный резистор \(R_1~(=510 ~кОм)\) и неизвестный резистор \(r\). Прямой метод из части B приводит к значительным погрешностям. Наблюдаемые расхождения обусловлены физическим фактором, который принципиально отличается как от нелинейности АЦП, так и от ошибок дискретизации (часть C). Ваша задача состоит в том, чтобы выявить этот фактор и предложить точный метод определения \(r\).

D1. Предложите метод определения неизвестного сопротивления \(r\) и зарисуйте соответствующую схему.

Примечание: обозначьте на схеме все узлы, в которых вы снимаете значения, и все используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\) соответственно.

D2. Запишите все необходимые уравнения на потенциалы узлов и \(r\), после чего подставьте туда выходные значения АЦП (\(N_H\), \(N_L\) и др.). Получите выражение для неизвестного сопротивления \(r\).

D3. Проведите измерения и вычислите \(r\) для каждого из трех контроллеров Micro:bit. Вычислите его среднее значение (\(\bar r\)), а также разницу между максимальным и минимальным значениями.