Задачи › Вольт-амперная характеристика, нелинейные элементы

Необычный элемент

  1. Необычный элемент

    ВсОШ 2021/22, 11 кл.
    6/10

    Совпадает с задачей №2 10 класса.

    Отклоним стержень от вертикали так, что магнит будет находиться на высоте \(H\) от положения равновесия, и отпустим без начальной скорости. После прохождения над пластинкой магнит поднимется на высоту \(h < H\). Для измерения значений \(H\) и \(h\) расположите две измерительные стойки с линейками по разные стороны от штатива. Подбирайте расположения стоек так, чтобы, начиная движение от одной, магнит при последующей остановке едва касался второй линейки. В данной части задачи используйте пластинку с наибольшими размерами.

    Указание: для задания расстояния \(d\) порядка 1 мм между пластинкой и магнитом в положении равновесия поместите между ним и пластинкой выданную вам линейку измерительной стойки. Кручением гайки, связывающей магнит и стержень, добейтесь плотного контакта линейки с пластинкой и магнитом. Затем уберите линейку.

    1. Получите экспериментальную зависимость \(h(H)\) (не менее 9 точек) в диапазоне \(H \in [10{,}0\ldots 26{,}0]\) см.

    2. Основываясь на теоретических представлениях, полученных в п. 1, получите теоретическую зависимость \(h(H)\). Предложите координаты, в которых теоретическая зависимость \(h(H)\) является линейной функцией. Постройте график полученной зависимости в предложенных координатах и выясните, является ли описанная теоретическая модель применимой.

    Теоретическое описание взаимодействия движущегося магнита с пластиной при разных значениях геометрических параметров установки является сложной задачей, решать которую вам не потребуется.

    Изучим взаимодействие движущегося магнита с пластинами с различными значениями длины \(a\).

    Рисунок

    1. При фиксированном значении \(H = 20\) см получите экспериментальную зависимость \(h(a)\) (5 точек).

    2. Предположим, что разность высот \(\Delta H = H - h\) прямо пропорциональна \(a^{n_2}\), где \(n_2\) — постоянная величина. Определите показатель степени \(n_2\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите закон сохранения энергии для колебаний стержня с учётом потерь, в которых \(P = \alpha v^{n_1}\). Затем подумайте, какие величины нужно откладывать по осям, чтобы зависимость стала линейной.

    Ответ

    1) таблица \(h(H)\) (10 точек) и график — в решении;  2) \(\sqrt{h} = \sqrt{H} - \dfrac{\beta}{\sqrt{2gM_1M_2}}\), в координатах \(\left(\sqrt{H},\,\sqrt{h}\right)\) зависимость линейна, наклон \(k_1 = 0{,}98 \pm 0{,}05\), модель применима;  3) таблица \(h(a)\) (5 точек) — в решении;  4) \(n_2 \approx 1\) (\(k_2 = 1{,}0 \pm 0{,}2\)).

    Решение

    Пункт 2. Значения \(H\) и \(h\) записаны с учётом поправки на положение магнита относительно каждой линейки. В решении есть точки, выходящие за рекомендуемый диапазон. Пары \((H, h)\) в миллиметрах: \((281; 228)\), \((260; 212)\), \((241; 196)\), \((222; 178)\), \((201; 160)\), \((182; 142)\), \((161; 125)\), \((141; 107)\), \((122; 96)\), \((101; 72)\).

    Пункт 3. Потенциальная и кинетическая энергии системы вблизи положения равновесия: \(W_p = M_1 g H\), \(W_k = \dfrac{M_2 v^2}{2}\), где \(M_1\) и \(M_2\) — коэффициенты, зависящие от геометрии системы. Скорости до и после взаимодействия с пластинкой: \[v_0 = \sqrt{\frac{2gH M_1}{M_2}}, \qquad v_1 = \sqrt{\frac{2gh M_1}{M_2}}.\] Закон изменения энергии системы, пренебрегая мощностью силы тяжести: \(M_2 v\,dv = -\alpha v^2\,dt\). Сократив \(v\) и учитывая \(v\,dt = dl\), интегрируем: \(M_2(v_1 - v_0) = -\beta\), где \(\beta = \int \alpha\,dl\) — постоянная величина. Тогда \[\sqrt{h} = \sqrt{H} - \frac{\beta}{\sqrt{2gM_1M_2}}.\] В координатах \(\left(\sqrt{H},\,\sqrt{h}\right)\) зависимость линейна. График (ниже) даёт наклон \(k_1 = 0{,}98 \pm 0{,}05\), что подтверждает предложенную теоретическую модель.

    Рисунок

    Пункт 4. При \(H = 20\) см (200 мм) получены пары \((a; h)\) в миллиметрах: \((30; 161)\), \((25; 165)\), \((20; 170)\), \((15; 179)\), \((10; 186)\). Значения \(h\) записаны с учётом поправки на положение магнита относительно линейки.

    Пункт 5. По этим данным \(\Delta H = H - h\) равно \(39\), \(35\), \(30\), \(21\) и \(14\) мм. График \(\ln\Delta H\) от \(\ln a\) (ниже) имеет наклон \(k_2 = 1{,}0 \pm 0{,}2\), откуда \(n_2 \approx 1\).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх