Задачи › ЭДС движения: рельсы, перемычки, рамки

Полёт с препятствием

  1. Полёт с препятствием

    ВсОШ 2021/22, 11 кл.
    7/10

    Оборудование: металлический стержень с неодимовым магнитом на одном и подшипником на другом конце; штатив с лапкой; платформа с пятью проводящими пластинами одинаковой толщины и ширины \(b\), но различной длины \(a\); две измерительные стойки с линейками.

    В данной задаче вам предлагается изучить взаимодействие движущегося постоянного магнита с тонкими проводящими пластинками, намагничиваемостью которых можно пренебречь. Для этого используется экспериментальная установка, схематично представленная на рис. 1. К горизонтальной оси на подшипнике прикреплён стержень с постоянным магнитом на конце. В положении равновесия системы под магнитом на небольшом расстоянии от него располагается тонкая проводящая пластинка. В ходе эксперимента исследуется изменение высоты магнита при максимальном отклонении стержня от положения равновесия после его однократного прохождения над пластинкой. Движение магнита происходит в плоскости, параллельной стороне \(a\) (рис. 1).

    Рисунок

    Силами сопротивления воздуха и трения в подшипнике можно пренебречь, как и размерами магнита по сравнению с размерами стержня. Основное взаимодействие магнита с пластинкой происходит на участке порядка размера пластинки, на котором мощностью силы тяжести также можно пренебречь.

    1. С учётом указанных приближений, при движении магнита со скоростью \(v\) мгновенная мощность энергетических потерь системы равна \(P = \alpha v^{n_1}\), где \(n_1\) — постоянная величина, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности, зависящий только от относительного расположения магнита и пластинки. Определите \(n_1\) из теоретических соображений. Ответ обоснуйте.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Оцените, как связаны производная магнитного поля по времени и скорость магнита, и какова мощность джоулева тепла в проводнике при заданной плотности вихревых токов.

    Ответ

    1) \(n_1 = 2\) (мощность потерь пропорциональна квадрату скорости, так как вихревое поле и плотность тока пропорциональны \(v\), а джоулево тепло — квадрату плотности тока).

    Решение

    При движении магнита в каждой точке пластинки меняется магнитное поле. Пусть \(\dfrac{d\vec B(\vec r)}{dl}\) — производная поля в точке с радиус-вектором \(\vec r\) по направлению движения магнита. Тогда \[\frac{d\vec B(\vec r)}{dt} = -v\,\frac{d\vec B(\vec r)}{dl}.\] Производная поля по времени пропорциональна скорости магнита, поэтому возникающее в каждой точке пластинки вихревое электрическое поле также пропорционально скорости: \(E_{\text{вихр}} \sim v\).

    По локальному закону Ома \(\vec j = \vec E_{\text{вихр}}/\rho\). Тепловая мощность в проводнике длиной \(l\) с сечением \(S\) при токе \(I\) равна \(P = I^2 R = \rho j^2 lS\), откуда мощность тепловыделения в единице объёма \[\frac{dP}{dV} = \rho j^2 = \frac{E_{\text{вихр}}^2}{\rho} \sim v^2.\] Так как сопротивлением воздуха и трением в подшипнике по условию можно пренебречь, все энергетические потери системы связаны с выделением джоулева тепла. Значит, \(P \sim v^2\), и \(n_1 = 2\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх