Задачи › Движение по окружности

Стадион МФТИ (теоретический тур)

  1. Стадион МФТИ (теоретический тур)

    Максвелл 2023/24, 7 кл.
    5/10

    Беговые дорожки стадиона МФТИ — это 4 дорожки шириной \(d = 1{,}22\) м каждая. Дорожки состоят из двух прямолинейных участков длины \(l = 84{,}39\) м и двух участков в виде полуокружностей радиуса \(R\). Радиус траектории атлета или эффективный радиус на первой дорожке \(R_1 = 36{,}80\) м.

    Рисунок

    1. Найдите эффективную длину одного круга первой дорожки \(L_1\).

    2. Определите, на каких расстояниях \(\Delta l_{12}\), \(\Delta l_{23}\), \(\Delta l_{34}\) должны располагаться линии стартов на различных дорожках на прямолинейных участках, чтобы длины дистанций в 3 круга совпадали при условии финиша на линии старта первой дорожки.

    3. Какие значения может иметь средняя скорость атлета, пробежавшего 6 кругов по первой дорожке, если он определял время своего забега по стадионным часам (с точностью до минуты)? Стартовал атлет в 13:00, а финишировал в 13:13. Выразите максимальную и минимальную средние скорости и в км/ч, и в м/с.

    Примечание: длина окружности радиуса \(R\) равна \(2\pi R\), где \(\pi = 3{,}1416\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(L_1 \approx 400\) м;  2) \(\Delta l_{12} = \Delta l_{23} = \Delta l_{34} = 6\pi d \approx 23\) м;  3) \(v \in [2{,}86;\ 3{,}33]\) м/с, то есть \(v \in [10{,}3;\ 12]\) км/ч.

    Решение

    1) Эффективная длина круга первой дорожки складывается из двух прямолинейных участков и двух полуокружностей: \(L_1 = 2\pi R_1 + 2l = 2\pi\cdot 36{,}80 + 2\cdot 84{,}39 \approx 400\) м.

    2) Длины дорожек различаются только на криволинейных участках. Для первой и второй дорожек на трёх кругах разность длин \(\Delta l_{12} = 3(L_2 - L_1) = 3\cdot 2\pi(R_1 + d) - 3\cdot 2\pi R_1 = 6\pi d \approx 23\) м. Аналогично \(\Delta l_{23} = \Delta l_{34} = 6\pi d \approx 23\) м.

    3) Средняя скорость на дистанции 2400 м. Показание часов 13:00 может соответствовать любому моменту от 13:00:00 до \(13{:}00{:}59{,}99\ldots\), поэтому время забега лежит в интервале от 12 до 14 минут. Минимальная скорость \(v_{\min} = \dfrac{2400~\text{м}}{14\cdot 60~\text{с}} \approx 2{,}86\) м/с \(\approx 10{,}3\) км/ч; максимальная скорость \(v_{\max} = \dfrac{2400~\text{м}}{12\cdot 60~\text{с}} \approx 3{,}33\) м/с \(= 12\) км/ч. Значение средней скорости — любое из этого интервала.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх