Догонялки (теоретический тур)

Обозначим: \(T_1\) — всё время в пути первого автомобиля, \(T_2\) — всё время в пути второго, \(\tau_2\) — время движения второго автомобиля до остановки. Тогда \(T_1 = \tau_2 + \Delta t\) и \(T_2 = t_2 = 14\) мин (второй автомобиль приходит в \(B\) в момент встречи).

1) Излом графика соответствует остановке второго автомобиля: \(\tau_2 = 2\) мин. За это время расстояние между автомобилями становится \(S_1 = 1{,}2\) км, откуда \(S_1 = (v_1 - v_2)\tau_2\), то есть \(v_1 - v_2 = 0{,}6\) км/мин. За следующие 2 мин первый автомобиль уехал от стоящего второго на \(S_2 = 4{,}2 - 3{,}2 = 3\) км, значит \(v_1 = \dfrac{3~\text{км}}{2~\text{мин}} = 1{,}5\) км/мин, а \(v_2 = 1{,}5 - 0{,}6 = 0{,}9\) км/мин.

2) Пути из \(A\) в \(B\): \(L = v_1 T_1 = v_1(\tau_2 + \Delta t)\) и \(L = v_2(T_2 - \Delta t)\). Приравняв правые части, найдём время остановки: \[\Delta t = \frac{v_2 T_2 - v_1\tau_2}{v_1 + v_2} = \frac{0{,}9\cdot 14 - 1{,}5\cdot 2}{2{,}4} = 4~\text{мин}.\] Время остановки можно найти и графически: построением прямой из точки излома с наклоном \(-v_2\) до пересечения с графиком первого автомобиля.

3) \(L = v_2(T_2 - \Delta t) = 0{,}9\cdot(14 - 4) = 9\) км; проверка: \(L = v_1(\tau_2 + \Delta t) = 1{,}5\cdot 6 = 9\) км.