Графики движения, путь как площадь

Тачки Молния Маккуин и Чико в очередной раз соревнуются на дистанции. В итоге, после напряжённой борьбы, Молния Маккуин оказался на финише через 50 минут после старта, опередив Чико. На рисунке представлен график, на котором показана разность расстояний \(\Delta S\), которые преодолели тачки к моменту времени \(t\).

1. Сколько раз за гоночный заезд обгонял Чико своего соперника?

2. На сколько различаются средние скорости движения тачек за 50 мин?

3. С какой скоростью ехал Молния Маккуин в течение первых 10 минут, если Чико в это же время ехал со скоростью 160 км/ч?

Тачки Молния Маккуин и Чико в очередной раз соревнуются на дистанции, стартовав одновременно с одной линии. В итоге, после напряжённой борьбы, Молния Маккуин оказался на финише через 50 минут после старта, опередив Чико. На рисунке представлен график зависимости разности скоростей \(\Delta V\) тачек от времени \(t\).

1. Сколько раз за гоночный заезд Чико обгонял своего соперника? В какие моменты это происходило?

2. На сколько различаются средние скорости движения тачек за 50 мин?

3. Какой путь проехал Молния Маккуин за первые 10 минут гонки, если Чико всё это время ехал со скоростью 160 км/ч?

Ускорение точки, совершающей одномерное движение по оси \(x\), в зависимости от времени представлено на графике.

1. Сколько раз останавливалась точка в течение первых пяти секунд, если её начальная скорость равна нулю?

2. Найдите величину средней путевой скорости точки в течение первых четырёх секунд. Ответ выразите в м/с и округлите до десятых.

На графике изображена зависимость пройденного телом пути от времени.

1. С какой скоростью тело двигалось в течение первого часа? Ответ укажите в км/ч и округлите до десятых.

2. Чему равна средняя скорость за 5 часов? Ответ укажите в км/ч и округлите до десятых.

3. В какой момент времени у тела была максимальная средняя скорость? Ответ укажите в часах и округлите до десятых.

Маленькое тело движется по плоскости так, что проекции вектора его скорости на оси \(OX\) и \(OY\) декартовой системы координат меняются периодически, как показано на графиках, представленных на рисунке. Определите наибольшее расстояние между точками траектории, в которых тело может побывать в течение первых десяти секунд движения. Ответ выразите в см, округлите до целого.

На рисунке изображен график зависимости скорости автомобиля \(v\) от пройденного им пути \(S\). Какое расстояние проехал автомобиль за первые 2 минуты своего движения?

Автомобиль часть пути ехал с постоянной скоростью \(V_1\) по грунтовой дороге, а затем, выехав на хороший асфальт, поехал быстрее с другой постоянной скоростью \(V_2\). На рисунке приведен график зависимости средней скорости \(V_{\text{ср}}\) автомобиля от пройденного им пути \(S\). К сожалению, большая часть графика от времени выцвела, и на нем остались лишь отдельные фрагменты. Определите значения скоростей \(V_1\) и \(V_2\). Сколько времени длилось движение по грунтовой дороге? Какого значения достигла средняя скорость автомобиля к сотому километру пути?

На планете системы звезды Шедар один из пунктов зарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному роботу со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из дней роботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый час они приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часа скорость поступления роботов равномерно увеличивалась, составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часа скорость поступления роботов равномерно уменьшалась и упала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвёртом часу скорость прихода роботов равномерно падала, составив к концу часа 20 р/ч, и потом оставалась такой в течение пятого и шестого часов. На седьмом часу опять был равномерный подъём скорости поступления роботов — до 100 р/ч в конце часа, а на восьмом часу — наблюдалось равномерное убывание скорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдают очерёдность, а после зарядки сразу покидают пункт.

1. Сколько времени работал пункт в этот день, если были заряжены все роботы?

2. Какова наибольшая продолжительность пребывания робота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) в этот день?

Три пловца разной квалификации решили посоревноваться на дистанции 100 метров в пятидесятиметровом бассейне. Стартовали пловцы одновременно, и каждый проплывал дистанцию со своей постоянной скоростью. Обозначим через \(d_{12}(t)\) расстояние между первым и вторым пловцами, а через \(d_{13}(t)\) – расстояние между первым и третьим пловцами в момент времени \(t\). На рисунке сплошной линией изображен график зависимости \(d_{13}(t)\) для части заплыва – от старта до момента времени \(t_2\). График зависимости \(d_{12}(t)\) изображен пунктиром. Численное значение величины \(d_0\) неизвестно, но зато известно, что \(t_1 = 30\) с и \(t_2 = 40\) с. При определении расстояния между пловцами ширина дорожек бассейна не учитывалась, считалось, что спортсмены движутся почти вдоль одной прямой. Разворот каждого из пловцов происходит очень быстро.

1. Какое время на финише показал каждый из пловцов?

2. Продолжите (достройте) оба графика до момента времени 60 с.

На графике приведена зависимость скорости пешехода \(v\) от времени его движения. С помощью этого графика постройте график зависимости скорости этого пешехода от расстояния, которое он прошел. \(v = 1{,}0\) м/с.

На графике представлена зависимость скорости автомобиля от пройденного пути.

1. Чему равна средняя путевая скорость к моменту, когда автомобиль проехал 12 км? Ответ выразите в км/ч, округлите до целого числа.

2. Найдите среднюю путевую скорость автомобиля по прошествии первой половины всего времени движения. Ответ выразите в км/ч, округлите до целого числа.

Из деревни Липовка в деревню Демушкино в 12.00 выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч; доехав до Демушкино, он повернул обратно. Также в 12.00 из Демушкино в Липовку выехал автомобиль со скоростью 45 км/ч; доехав до Липовки, он тоже повернул обратно. Расстояние между деревнями 35 км.

Вопрос A (2 балла). Когда автомобиль и мотоциклист встретятся в первый раз? Ответ представьте в формате часы.минуты.

Вопрос B (2 балла). На каком расстоянии от Липовки произойдет первая встреча автомобиля и мотоцикла? Ответ представьте в километрах и округлите до целых.

Вопрос C (3 балла). Когда автомобиль и мотоциклист встретятся во второй раз? Ответ представьте в формате часы.минуты.

Вопрос D (3 балла). На каком расстоянии от Липовки произойдет вторая встреча автомобиля и мотоцикла? Ответ представьте в километрах и округлите до целых.

Автобус и маршрутка курсируют между пунктами \(A\) и \(B\). Можно считать, что их скорости остаются постоянными на пути от \(A\) до \(B\) (и обратно), на пути они не делают остановок, а на разворот в пункте \(A\) или \(B\) затрачивается пренебрежимо малое время. Автобус и маршрутка выезжают из пункта \(A\) в 7:00. В 18:00 автобус прибывает шестой раз в пункт \(B\), а маршрутка едет к пункту \(A\). Отношение скоростей автобуса и маршрутки равно 5:6 соответственно.

1. Сколько раз встретились автобус и маршрутка с 7:00 до 18:00, не считая встречи в начальный момент времени?

2. Сколько времени они двигались навстречу друг другу в этот интервал времени? В ответе на вопрос задачи следует указывать номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Велосипедист с постоянной скоростью 15 км/ч курсирует между пунктами А и В, начиная из пункта А. Пешеход курсирует по той же дороге между пунктами А и В, начиная из пункта В, со скоростью 5 км/ч. Расстояние между пунктами А и В — 10 км. Через какое время у них произойдет третья встреча на дороге и где, если они начали движение одновременно?

Считается, что минимальное безопасное расстояние между автомобилями (минимальная дистанция) может быть рассчитана по формуле «половина скорости в метрах». Например, при движении со скоростью 60 км/ч минимальная безопасная дистанция будет равна 30 м, а при движении со скоростью 90 км/ч она составит 45 м.

Два одинаковых автомобиля движутся по прямой дороге один за другим с одинаковыми скоростями, причем дистанция между ними в точности минимальная безопасная. Допустим, что первый из автомобилей начал сбрасывать скорость, и через некоторое время остановился. Водитель второго автомобиля среагировал на это спустя некоторое время \(t\) и точно так же начал сбрасывать скорость до полной остановки. Но если бы второй водитель не среагировал достаточно быстро, то автомобили столкнулись бы. Найдите максимальное время реакции водителя \(t\), при котором формула «половина скорости в метрах» гарантирует, что автомобили не столкнутся.

Автомобиль трогается с места и разгоняется с некоторым постоянным ускорением \(a_1\). По достижении скорости \(v = 72\) км/ч автомобиль начинает тормозить с некоторым постоянным ускорением \(a_2\) до полной остановки. Найти путь, пройденный автомобилем, если суммарное время разгона и торможения \(\tau = 10\) c.

Автобус и маршрутка курсируют между пунктами \(A\) и \(B\). Можно считать, что их скорости остаются постоянными на пути от \(A\) до \(B\) (и обратно), на пути они не делают остановок, а на разворот в пункте \(A\) или \(B\) затрачивается пренебрежимо малое время. Автобус и маршрутка выезжают из пункта \(A\) в 7:00. В 18:00 автобус прибывает шестой раз в пункт \(B\), а маршрутка едет к пункту \(A\). Отношение скоростей автобуса и маршрутки равно 5:6 соответственно.

1. (3 балла) Сколько раз встретились автобус и маршрутка с 7:00 до 18:00, не считая встречи в начальный момент времени?

2. (3 балла) Сколько времени они двигались навстречу друг другу в этот интервал времени? В ответе на вопрос задачи следует указывать номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Тело двигалось сначала с постоянной скоростью \(v_1\), а затем с постоянной скоростью \(v_2\). Используя график зависимости средней скорости от времени \(v_{\text{ср}}(t)\), выполните следующие задания.

1. Определите пройденный путь телом за 60 минут. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.

2. Найдите отношение \(\dfrac{v_2}{v_1}\). Ответ округлите до десятых.

Школьники Владислав и Ярослав стартовали из деревни Липовка в деревню Демушкино: Владислав направился пешком, а Ярослав "— спустя \(t_1 = 8\) мин. на велосипеде. Добравшись до Демушкино, каждый из школьников развернулся и продолжил движение обратно с прежней скоростью. Ярослав прибыл обратно в Липовку на \(t_2 = 32\) мин. раньше Владислава. На дистанции школьники встретились два раза, причём обе встречи произошли на одинаковом расстоянии от середины дистанции. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода? Сколько времени прошло между встречами?

На берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга расположены деревни Липовка и Демушкино. В 12.00 от Липовки к Демушкино стартовали плот и катер. Доплыв до Демушкино, катер развернулся и повернул обратно, встретившись с плотом в 14.00. Плот при этом проплыл 4 км. Постройте графики движения (зависимость расстояния до Липовки от времени) для плота и катера. В какой момент времени катер прибыл в Демушкино? Найдите скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, считая эти скорости постоянными.

Заряженная частица А и нейтральная частица В движутся в вакууме в области, где имеются как поле тяжести (ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\)), так и электрическое поле, направленное параллельно полю тяжести. Частицы стартуют из одной точки без начальной скорости. Достигнув скорости 400 м/с, частица А влетела в область пространства, где направление электрического поля изменилось на противоположное, а его величина осталась неизменной. Спустя 10 секунд с момента старта расстояние между частицами достигло максимума и начало уменьшаться. Постройте графики зависимости скоростей частиц А и В от времени в первые 10 секунд после старта. В какой момент времени изменилось направление напряжённости электрического поля? Укажите этот момент на графике.

Хоккеист Вася находится на длинной ледяной дорожке. Он сообщает шайбе стартовую скорость \(u\). Некоторое время шайба движется с этой скоростью. На дорожке имеется шероховатый участок длиной 1 м, после прохождения которого шайба движется с меньшей скоростью \(v\). Результаты измерений скоростей \(u\) и \(v\) Вася занёс в таблицу: (\(u=2\) м/с; \(v=0\)); (\(u=2{,}83\) м/с; \(v=2\) м/с); (\(u=3{,}46\) м/с; \(v=2{,}83\) м/с); (\(u=4\) м/с; \(v=3{,}46\) м/с); (\(u=4{,}47\) м/с; \(v=4\) м/с); (\(u=4{,}9\) м/с; \(v=4{,}47\) м/с); (\(u=5{,}29\) м/с; \(v=4{,}9\) м/с); (\(u=5{,}66\) м/с; \(v=5{,}29\) м/с); (\(u=6\) м/с; \(v=5{,}66\) м/с).

1. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}66\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения двух шероховатых участков длиной 1 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

2. Шайбу запустили со скоростью \(4{,}47\) м/с. Какую скорость она будет иметь после прохождения шероховатого участка длиной 3 м? Ответ представьте в м/с и округлите до сотых.

3. Шайбу запустили со скоростью \(5{,}29\) м/с, она попала на длинный шероховатый участок дорожки. Сколько метров пройдёт шайба до остановки? Ответ округлите до целых.

Петя прогулялся по речному берегу от деревни Петрово до деревни Васино и, нигде не задерживаясь, вернулся назад. Его скорость во время прогулки была почти постоянной и равной скорости течения реки. Одновременно с Петей тем же самым маршрутом на лодке отправился Вася. До Васино он добрался втрое быстрее Пети и тоже, не задерживаясь, вернулся на лодке в Петрово. Сколько времени плавал на лодке Вася, если прогулка Пети длилась 120 минут? Через какое время после старта мальчики встретились? Определите, в какие моменты времени после старта расстояние между мальчиками было максимальным. Скорость лодки относительно воды можно считать постоянной.

Горизонтальная лента транспортера движется со скоростью \(u = 1\) см/с относительно земли. Таракан может бегать по ленте со скоростью \(V\) относительно ленты по нарисованному на ленте квадрату с длиной стороны \(a = 5\) см в направлении по часовой стрелке, если смотреть на ленту сверху. В начальный момент времени таракан находится в углу квадрата, в точке с координатой 0 по оси \(OX\), неподвижной относительно земли.

1. Если \(V = u\), то чему будет равна средняя скорость перемещения таракана относительно оси \(OX\) к моментам времени \(t_1 = 3a/(2V)\), \(t_2 = 5a/(2V)\) и \(t_3 = 7a/(2V)\)?

2. Для \(V = 2{,}5u\) нарисуйте траекторию таракана в системе отсчёта, неподвижной относительно земли, для первых 20 с движения.

3. При какой скорости таракана траектория представляет собой ломаную линию, не пересекающую саму себя?

По игрушечной двухколейной железной дороге в виде кольца длиной 144 м ездят специальные маленькие электровозы. Каждый электровоз запрограммирован так, что сначала он движется из положения покоя в течение времени \(t\) с постоянным ускорением \(a\), затем его ускорение становится равно нулю и он едет такое же время \(t\) с постоянной скоростью, в конце электровоз тормозит с тем же по модулю ускорением \(a\), что на этапе разгона, оказываясь в начальной точке с нулевой скоростью, после чего цикл повторяется.

Два электровоза начинают движение по соседним путям в разные стороны, при этом второй стартует через время \(\dfrac{t}{3}\) после первого. Ответы на вопросы задачи дайте в метрах, при необходимости округлите до целого числа.

1. (3 балла) Чему равно наименьшее значение длины дуги кольца \(L_1\) между начальной точкой и той точкой, где происходит первая встреча электровозов?

2. (4 балла) Найдите наименьшую длину дуги кольца \(L_2\) между начальной точкой и той точкой, где происходит вторая встреча электровозов.

В каждом пункте в ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами. Считайте размеры электровозов, а также различия в длинах путей, проходимых каждым из них, пренебрежимо малыми по сравнению с длиной кольца.