Светодиод

Подсказка

Пока ток мал, единицей в формуле диода можно пренебречь, и тогда \(V\) линейно зависит от \(T\); график уходит к \(V_{G0}\) при \(T\to0\). КПД найдите, сравнивая нагрев воздуха в бутылке током через светодиод и током через резистор. Фотоэлемент отдаёт наибольшую мощность в «колене» вольт-амперной характеристики.

Ответ

1) \(V_{G0}\approx 2{,}07\) В (организаторы: \(2{,}085\) В); \(n\approx1{,}55\); \(A\approx1{,}2\cdot10^{2}\) А; \(R_s\approx0{,}75~\Omega\);  2) \(\eta\approx0{,}48\);  3) \(P_{\max}\approx17\) мкВт, \(\eta_p\approx0{,}08\) (у организаторов \(0{,}04\), но по их формуле и их данным выходит \(0{,}08\)).

Решение

Что происходит. Светодиод — это \(p\)–\(n\)-переход: его ток растёт экспоненциально с напряжением на переходе, а показатель экспоненты содержит температуру. Поэтому при фиксированном токе \(V\) линейно зависит от \(T\), а при фиксированном \(V\) ток чувствительно зависит от \(T\). Эти два измерения дают \(V_{G0}\), \(n\) и \(A\). Лишнюю энергию светодиод отдаёт светом, а не теплом, поэтому нагрев воздуха током через светодиод меньше, чем током через резистор той же электрической мощности, — так находится КПД. Наконец, тот же переход, освещённый другим светодиодом, работает как элемент, который сам даёт ток: максимальную мощность он отдаёт в точке «колена» вольт-амперной характеристики.

Обозначения. \(V\) — напряжение на самом переходе, \(V'=V+I_dR_s\) — напряжение на выводах светодиода, \(V_T=kT/q\) — тепловое напряжение: при \(T=300\) К оно равно \(25{,}9\) мВ, и \(nV_T\approx 40\) мВ. Температуру определяем по сопротивлению термистора \(R_T\) по формуле из условия.

Упрощение формулы диода. В измерениях \(V\approx1{,}5\) В, то есть \(V/(nV_T)\approx 37\), и \(e^{V/(nV_T)}\sim10^{16}\gg1\). Единицей в скобках пренебрегаем: \[I_d=A\,e^{(V-V_{G0})/(nV_T)}\quad\Longrightarrow\quad V=V_{G0}+nV_T\ln\frac{I_d}{A}.\] Падение на \(R_s\) при \(I_d=0{,}33\) мА равно \(0{,}33\cdot10^{-3}\cdot1~\Omega\approx0{,}3\) мВ — меньше одной сотой от \(nV_T\), при малых токах его не учитываем, \(V'=V\).

1. Зависимость \(V(T)\) и \(V_{G0}\). При постоянном токе \(I_d\) формула линейна по \(T\): \[V=V_{G0}-BT,\qquad B=n\,\frac{k}{q}\,\ln\frac{A}{I_d}=\text{const}.\] Опыт собирается из трёх независимых цепей одной платы (рис. 2): мультиметр в режиме диода подключён к клеммам 1 и 2 и сам задаёт ток \(0{,}33\) мА, плата греется током через \(R_1\) (клеммы 3 и 6), ток меняется потенциометром, а мультиметр в режиме омметра на клеммах 4 и 5 даёт \(R_T\). По \(R_T\) вычисляем \(T\) и параллельно записываем \(V\). Данные организаторов (две серии, показана первая):

Рис. 2. Три цепи платы: напряжение на светодиоде (клеммы 1, 2), нагрев через \(R_1\) (клеммы 3, 6), сопротивление термистора \(R_T\) (клеммы 4, 5).

Строим график \(V(T)\) (рис. 3) и проводим через точки прямую методом наименьших квадратов. По обеим сериям данных: наклон \(-B=-1{,}71\cdot10^{-3}\) В/К, значение при \(T=0\) — \(2{,}073\) В. Продолжение прямой до оси \(V\) даёт \[V_{G0}\approx 2{,}07~\text{В}.\] Организаторы приводят \(2{,}085\) В; расхождение \(0{,}01\) В лежит в пределах ошибки экстраполяции с интервала \(300\)–\(364\) К на \(T=0\). Для расчёта \(n\) и \(A\) ниже берём значение организаторов \(V_{G0}=2{,}085\) В, с которым составлена их таблица.

Рис. 3. Зависимость напряжения на светодиоде от температуры при токе \(0{,}33\) мА: линейная аппроксимация и её продолжение до \(T=0\).

Параметры \(n\) и \(A\). Теперь фиксируем напряжение (\(V=1{,}512\) В) и измеряем ток при разных температурах (нагрев — через \(R_1\), ток — мультиметром, температура — по \(R_T\)). Разделим логарифмированную формулу диода на \(V_T\): \[\frac{V-V_{G0}}{V_T}=n\ln I_d-n\ln A .\] Значит, график зависимости \((V-V_{G0})/V_T=(V-V_{G0})q/(kT)\) от \(\ln(I_d/1~\text{А})\) — прямая с наклоном \(n\) и сдвигом \(-n\ln A\). Данные (токи — в микроамперах; в шапке таблицы организаторов стоит «мА», но их же \(\ln(I_d/1~\text{А})=-10{,}31\) отвечает \(33{,}3\) мкА):

На графике (рис. 4) две первые точки (самые малые токи, большая относительная погрешность измерения тока) выпадают из прямой, а последняя отклоняется вверх от прямой (организаторы объясняют это влиянием \(R_s\); при токе меньше миллиампера падение на \(R_s\) порядка \(0{,}6\) мВ, так что скорее сказывается погрешность температуры при сильном нагреве); их отбрасываем. Остальные семь точек ложатся на прямую: \[n\approx1{,}55,\qquad -n\ln A\approx-7{,}39\ \Longrightarrow\ \ln A=\frac{7{,}39}{1{,}55}=4{,}77,\quad A=e^{4{,}77}~\text{А}\approx 1{,}2\cdot10^{2}~\text{А}.\]

Рис. 4. Линеаризация: прямая по семи точкам, наклон равен \(n\), сдвиг равен \(-n\ln A\).

Обратите внимание: \(A\) получилось огромным — это не ток, который идёт через диод, а лишь параметр. Реальный ток насыщения \(A\,e^{-V_{G0}/(nV_T)}\sim10^{-21}\) А.

Последовательное сопротивление \(R_s\). При больших токах (\(I_d\sim1\) А) напряжение на переходе почти не зависит от тока: \(dV/dI_d=nV_T/I_d\approx0{,}05~\Omega\), что много меньше \(R_s\sim1~\Omega\). Поэтому на выводах светодиода \[V'=V+I_dR_s\approx V_{\text{пер}}+I_dR_s ,\] и \(V'(I_d)\) — почти прямая с наклоном \(R_s\). Ток создаём источником и потенциометром, измеряем амперметром; напряжение снимаем отдельным вольтметром («voltage-only») прямо с выводов светодиода (рис. 5): иначе в него попадёт падение на проводах и амперметре, по которым идёт большой ток.

Рис. 5. Измерение при больших токах: вольтметр подключён к выводам светодиода.

Данные организаторов:

Наклон прямой по четырём точкам (рис. 6): \[R_s=\frac{\Delta V'}{\Delta I_d}\approx0{,}75~\Omega .\]

Рис. 6. Зависимость напряжения на выводах светодиода от тока при больших токах.

Проверка части 1. Второй способ для \(R_s\): вычтем из \(V'\) напряжение на переходе, посчитанное по найденным \(V_{G0}\), \(n\), \(A\) и температуре из \(R_T\). При токах \(0{,}7\)–\(0{,}85\) А получаем \(V_{\text{пер}}\approx1{,}85\) В и \(R_s=(V'-V_{\text{пер}})/I_d\approx0{,}65~\Omega\) — тот же порядок и с той же точностью, с какой известны \(n\) и \(T\) перехода. Размерность \(B=n(k/q)\ln(A/I_d)\) — В/К. Смысл: чем сильнее мы разогреваем светодиод, тем ниже напряжение на нём при том же токе, потому что сильнее «размывается» распределение носителей по энергии.

2. КПД светодиода. Идея — сравнить нагрев воздуха током через светодиод и током через резистор. Через резистор вся электрическая мощность \(P_R\) превращается в тепло. Через светодиод тепло составляет только \((1-\eta)P_D\): остальная доля \(\eta P_D\) уходит светом из бутылки. Давление воздуха в закрытой бутылке определяется температурой, а температура — равенством тепловой мощности и теплоотвода. Значит, при равных давлениях в двух бутылках равны и тепловые мощности: \[(1-\eta)P_D=P_R\quad\Longrightarrow\quad \eta=1-\frac{P_R}{P_D}.\] Манометр — U-образная трубка с водой между бутылками (рис. 7): перепад давления измеряем разностью уровней \(d\).

Рис. 7. Две одинаковые платы в закрытых бутылках: в одной ток идёт через светодиод, в другой — через резистор \(R_1\); разность уровней \(d\) в U-трубке пропорциональна разности давлений.

Уравнивание давлений занимает \(5\)–\(10\) минут на каждую точку. Быстрее — считать теплоотвод линейным по температуре (диод почти не греется) и построить для каждой цепи \(d=kP\), где \(P\) — потребляемая мощность. Перепад давления пропорционален \(d\) с одним и тем же коэффициентом, поэтому он сокращается в отношении: \[k_D=(1-\eta)\,k_R\quad\Longrightarrow\quad \eta=1-\frac{k_D}{k_R}.\] Данные (\(I\) — в мА, \(P=VI\) — в Вт, \(d\) — в мм; индекс \(D\) — светодиод, \(R\) — резистор):

Прямые, проведённые из начала координат (рис. 8), имеют наклоны \(k_D\approx41{,}0\) мм/Вт и \(k_R\approx79{,}1\) мм/Вт: \[\eta=1-\frac{41{,}0}{79{,}1}\approx0{,}48 .\]

Рис. 8. Разность уровней в манометре как функция потребляемой мощности: для светодиода наклон вдвое меньше, чем для резистора.

Обратите внимание: напряжение \(V_D\) здесь — на выводах светодиода, и мощность \(P_D=V_DI_D\) включает и тепло на \(R_s\); поэтому найденный \(\eta\) — внешний КПД. Внутренний, для самого перехода, получается чуть больше (\(\approx0{,}53\) по оценке организаторов).

Проверка части 2. Предел: если бы светодиод не излучал, \(\eta=0\) и \(k_D=k_R\) — прямые совпали бы; \(\eta=1\) дало бы \(k_D=0\). Полученный наклон \(41/79\) лежит между этими пределами, \(\eta\approx0{,}5\) — половина мощности уходит светом, что для светодиодов того времени вполне обычно. Измерение по термистору (тот же метод по \(T_D(P)\) и \(T_R(P)\)) даёт \(0{,}46\pm0{,}04\) — в пределах погрешности.

3. Светодиод как фотодиод. Свет второго светодиода создаёт фототок \(I_p\), не зависящий от \(V\), и ток через выводы \[I=I_d(V)-I_p ,\qquad I_d(V)=A\,e^{-V_{G0}/(nV_T)}\left(e^{V/(nV_T)}-1\right).\] Пока \(0<V<V_{\text{хх}}\) (напряжение холостого хода), ток отрицателен: элемент отдаёт мощность \(P=-VI=V\,(I_p-I_d)\). Она растёт с \(V\) вместе с множителем \(V\), но около \(V_{\text{хх}}\) резко падает, потому что \(I_d\) растёт экспоненциально и гасит фототок: между этими двумя поведениями лежит максимум. Схема опыта (рис. 9): левый светодиод питается током \(I_1\) через потенциометр и амперметр, правый — фотоэлемент; его напряжение и ток меняем вторым потенциометром, измеряя милливольтметром и микроамперметром.

Рис. 9. Схема опыта 3: светодиоды друг напротив друга, слева — источник света, справа — фотоэлемент.

Данные организаторов (\(I=I_d-I_p\) — в мкА, \(P=VI\) — в мкВт; знак минус у \(P\) означает, что элемент отдаёт мощность, плюс — потребляет):

При \(V=0\) диод закорочен, \(I_d=0\) и \(I=-I_p\): фототок \(I_p\approx15\) мкА. Строим \(I(V)\) и \(-VI\) (рис. 10): максимум мощности лежит около \(V\approx1{,}24\) В, парабола через три верхние точки (\(1{,}2\); \(1{,}3\); \(1{,}35\) В) даёт \[P_{\max}\approx17~\text{мкВт}.\]

Рис. 10. Вольт-амперная характеристика светодиода-фотоэлемента и вырабатываемая мощность \(P=-VI\).

Фото-КПД. Первый светодиод при \(I_1=0{,}50\) А имеет на выводах \(V_1\approx2{,}2\) В (прямая по данным части 2 при токах \(0{,}4\)–\(0{,}5\) А) и излучает мощность \[P_{\text{св}}=\eta\,V_1I_1\approx0{,}48\cdot2{,}2\cdot0{,}50~\text{Вт}\approx0{,}53~\text{Вт}.\] Он излучает равномерно в долю \(\alpha=0{,}33\) сферы; на расстоянии \(d\) эта доля имеет площадь \(\alpha\cdot4\pi d^2\), а площадка фотоэлемента \(S\) ловит долю света \[\frac{S}{\alpha\,4\pi d^2}=\frac{1{,}56~\text{мм}^2}{0{,}33\cdot4\pi\cdot(30~\text{мм})^2}\approx4{,}2\cdot10^{-4}.\] Поглощённая мощность \(P_{\text{погл}}\approx0{,}53\cdot4{,}2\cdot10^{-4}\approx2{,}2\cdot10^{-4}\) Вт \(=220\) мкВт, и \[\eta_p=\frac{P_{\max}}{P_{\text{погл}}}=\frac{17~\text{мкВт}}{220~\text{мкВт}}\approx0{,}08 .\]

Организаторы приводят \(\eta_p\approx0{,}04\), но подстановка в их же формулу \(\eta_p=P_{\max}\big/\bigl(\eta V_1I_1\cdot S/(\alpha4\pi d^2)\bigr)\) их же чисел даёт \(0{,}08\); мы приводим это значение.

Проверка части 3. Расчёт по модели с найденными \(n=1{,}55\), \(A=119\) А, \(V_{G0}=2{,}085\) В при \(T=298\) К и \(I_p=15\) мкА даёт максимум \(P\approx19\) мкВт при \(V\approx1{,}31\) В, а при \(I_p=20\) мкА — \(26\) мкВт (организаторы называют \(0{,}026\) мВт): измеренная кривая отличается от идеальной модели (организаторы связывают расхождение с утечкой через конечное параллельное сопротивление перехода). Порядок величины и положение максимума (\(V\approx1{,}2\)–\(1{,}3\) В, чуть левее \(V_{\text{хх}}\approx1{,}43\) В) сходятся. Предел: если \(I_p\to0\), \(P_{\max}\to0\). Размерность \(\eta_p\) — безразмерная величина (Вт/Вт).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.