Задачи › Уравнение вращения, раскрутка и торможение

Вязкий валик

  1. Вязкий валик

    ВсОШ 2016/17, 10 кл.
    6/10

    Однородный цилиндр массы \(m\) и радиуса \(R\) касается двух параллельных длинных вертикальных пластин, движущихся с постоянными скоростями \(v_1\) и \(v_2\) вверх (рис. 1). Между пластинами и поверхностью цилиндра существует вязкое трение, сила его пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей (\(\vec F_{\text{тр}} = -\gamma\,\vec v_{\text{отн}}\)). Коэффициенты вязкого трения для первой и второй пластин равны \(\gamma_1\) и \(\gamma_2\) соответственно.

    Рисунок

    1. Найдите установившуюся угловую скорость \(\omega\) вращения цилиндра, а также скорость \(v\) его центра.

    2. При каком условии цилиндр будет двигаться вверх?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    В установившемся движении сумма сил на цилиндр и суммарный момент сил трения относительно его оси равны нулю. Скорости точек касания пластин выражаются через \(v\) и \(\omega\).

    Ответ

    1) \(\omega = \dfrac{mg}{4R}\left(\dfrac{1}{\gamma_2} - \dfrac{1}{\gamma_1}\right) + \dfrac{v_1 - v_2}{2R}\),  \(v = \dfrac{mg}{4}\left(\dfrac{1}{\gamma_1} + \dfrac{1}{\gamma_2}\right) - \dfrac{v_1 + v_2}{2}\);  2) \(v_1 + v_2 > \dfrac{mg}{2}\left(\dfrac{1}{\gamma_1} + \dfrac{1}{\gamma_2}\right)\).

    Решение

    Примем за положительное направление движения цилиндра — вниз, а за положительное направление вращения — по часовой стрелке. Скорость точки \(A\) цилиндра, касающейся левой пластины, и точки \(B\), касающейся правой, равны \[v_A = v - \omega R, \qquad v_B = v + \omega R.\]

    Рисунок

    Силы трения со стороны пластин: \(F_1 = \gamma_1(v_1 + v_A) = \gamma_1(v_1 + v - \omega R)\) и \(F_2 = \gamma_2(v_2 + v_B) = \gamma_2(v_2 + v + \omega R)\). При установившемся движении сумма сил на цилиндр равна нулю, а суммарный момент сил трения относительно оси равен нулю: \[mg = F_1 + F_2, \qquad F_1 R = F_2 R.\]

    Рисунок

    Решая систему \[\begin{cases} mg = \gamma_1(v_1 + v - \omega R) + \gamma_2(v_2 + v + \omega R),\\ \gamma_1(v_1 + v - \omega R) = \gamma_2(v_2 + v + \omega R), \end{cases}\] получаем \[\omega = \frac{mg}{4R}\left(\frac{1}{\gamma_2} - \frac{1}{\gamma_1}\right) + \frac{v_1 - v_2}{2R}, \qquad v = \frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2}\right) - \frac{v_1 + v_2}{2}.\] Цилиндр движется вверх, если \(v < 0\), то есть при \[v_1 + v_2 > \frac{mg}{2}\left(\frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2}\right).\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх