Стакан-поплавок

Сила Архимеда растёт линейно с перемещением стакана, пока уровень воды не дойдёт до его края. Найдите, какое перемещение соответствует этому моменту, и сопоставьте точки графика с этими соотношениями.

Пусть стакан сместился вниз относительно дна сосуда на расстояние \(x\). Уровень воды в сосуде поднимается на \(xS_1/(S_2 - S_1)\), а глубина погружения стакана увеличивается на \(xS_2/(S_2 - S_1)\). Поэтому сила Архимеда возрастает на \[F = \rho g x\,\frac{S_1 S_2}{S_2 - S_1}. \qquad (1)\] Эта связь линейна до тех пор, пока уровень воды не сравняется с краем стакана. В этот момент сила равна \(F^* = (\rho S_1 h - m)\,g\). Без внешней силы стакан выступает из воды на \(h_1 = h - m/(\rho S_1)\), поэтому уровень сравняется с краем при перемещении \[x^* = \left(h - \frac{m}{\rho S_1}\right)\frac{S_2 - S_1}{S_2}.\] При дальнейшем погружении \(\Delta x = x - x^*\) вода втекает в стакан, и её вес уменьшает приложенную силу на \(\Delta F = \rho S_2 g\,\Delta x\): \[F = F^* - \Delta F = (\rho S_1 h - m)\,g - \rho S_2 g\,\Delta x. \qquad (2)\] Сила линейно уменьшается до нуля при \[x_{\max} = x^* + \Delta x_{\max} = h - \frac{m}{\rho S_1}.\] Максимальное перемещение равно расстоянию \(h_1\) от края стакана до уровня воды в начальный момент.

По графику \(x_{\max} = h_1 = 8\) см, \(x^* = 6\) см, \(F^* = 4\) Н: \[\frac{m}{\rho S_1} = h - h_1 = 16\text{ см}, \qquad \frac{S_1}{S_2} = 1 - \frac{x^*}{h_1} = \frac{1}{4}, \qquad F^* = \rho S_1 h_1 g = 4\text{ Н}.\] Отсюда \(S_1 = 50\) см\(^2\), \(S_2 = 200\) см\(^2\), \(m = 0{,}8\) кг.