Задачи › Уравнение состояния

Сосуд Мариотта

  1. Сосуд Мариотта

    ВсОШ 2016/17, 10 кл.
    6/10

    Сосуд Мариотта представляет собой герметически закрытый цилиндрический сосуд с площадью дна \(S\), в верхнюю крышку которого вставлена открытая с обоих концов тонкая трубка (рис. 1). Нижний конец трубки расположен на расстоянии \(H\) от верхней крышки сосуда. Около дна сосуда в его боковую стенку вставлена горизонтальная трубка с краном. В начальный момент времени высота уровня воды относительно нижнего конца вертикальной трубки равна \(x_0\), а сама эта трубка полностью заполнена воздухом. Кран закрыт. В момент времени \(t = 0\) кран открывают, и вода начинает вытекать из сосуда, а пузырьки воздуха проникать в сосуд через вертикальную трубку. Расход вытекающей жидкости равен \(\omega\) (объём в единицу времени). Температура сосуда \(T\) и атмосферное давление \(p_0\) известны и остаются постоянными. Давлением насыщенных паров воды пренебречь. Считайте, что в ходе всего эксперимента уровень жидкости в сосуде не опустился ниже конца вертикальной трубки.

    Рисунок

    1. Чему равна масса \(m_0\) воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени?

    2. Чему равна скорость \(\mu\) изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени?

    3. С какой скоростью \(\beta\) изменяется \(\mu\) (скорость изменения массы воздуха в сосуде) в процессе вытекания воды из него?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите объём воздуха над водой и давление воздуха через время \(t\), а затем используйте уравнение состояния идеального газа для массы воздуха \(m(t)\).

    Ответ

    1) \(m_0 = \dfrac{M}{RT}\,S(H - x_0)\,(p_0 - \rho g x_0)\);  2) \(\mu(0) = \dfrac{M}{RT}\,\omega\,\bigl[p_0 + \rho g H - 2\rho g x_0\bigr]\);  3) \(\beta = \dfrac{2M\rho g\omega^2}{RTS}\) (постоянная величина).

    Решение

    Пусть \(\omega\) — объёмный расход вытекающей воды. Уровень воды опускается так, что \(x = x_0 - \dfrac{\omega}{S}\,t\), а объём воздуха над водой \(V = S(H - x_0) + \omega t\). Давление воздуха над поверхностью воды \[p = p_0 - \rho g x = p_0 - \rho g x_0 + \rho g\,\frac{\omega}{S}\,t.\]

    Рисунок

    Масса воздуха в сосуде над водой по уравнению состояния: \[m(t) = \frac{M}{RT}\,pV = \frac{M}{RT}\left(p_0 - \rho g x_0 + \rho g\,\frac{\omega t}{S}\right) \bigl[S(H - x_0) + \omega t\bigr].\] В начальный момент \[m_0 = m(0) = \frac{M}{RT}\,S(H - x_0)\,(p_0 - \rho g x_0).\] Скорость изменения массы \[\mu = \frac{dm}{dt} = \frac{M}{RT}\,\omega\left[p_0 + \rho g H - 2\rho g x_0 + \frac{\rho g\omega t}{S}\right],\] откуда \(\mu(0) = \dfrac{M}{RT}\,\omega\,[p_0 + \rho g H - 2\rho g x_0]\). Наконец, скорость изменения \(\mu\) постоянна: \[\beta = \frac{d\mu}{dt} = \frac{2M\rho g\,\omega^2}{RTS}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх