Чёрный ящик с тремя выводами

Рассмотрим соединение резисторов «треугольником» (рис. 63, а). Тогда при подключении источника напряжения к клеммам 1, 3 по ветви 1–2–3 будет течь ток \(I\), поэтому \[U_{12} = Ir_{12},\quad U_{23} = Ir_{23}.\] Отсюда \[\dfrac{r_{12}}{r_{23}} = \dfrac{U_{12}}{U_{23}} = \dfrac{6}{9}.\] Аналогично, для случая подключения источника питания к выходам 2, 3 можно записать \[\dfrac{r_{12}}{r_{13}} = \dfrac{U_{21}}{U_{13}} = \dfrac{10}{5}.\] Тогда получим \(r_{13} < r_{12} < r_{23}\). Значит,

\[r_{13} = R,\quad r_{12} = 2R,\quad r_{23} = 3R.\] Для соединения «звездой» (рис. 63, б) получаем, что при подключении источника напряжения к клеммам 1 и 3 ток \(I_{13}\) течёт только по ветви 1–0–3, поэтому

\[U_{12} = I_{13}r_1,\quad U_{23} = I_{13}r_3,\] а при подключении к выходам 2, 3

\[U_{21} = I_{13}r_2\text{ и }U_{13} = I_{13}r_3.\] Отсюда \(r_1 < r_3 < r_2\), значит, \[r_1 = R,\quad r_3 = \dfrac{3}{2}R,\quad r_2 = 3R.\] Эти две схемы полностью эквивалентны, поэтому напряжения \(U_{13}\) и \(U_{23}\) можно вычислять по любой из них. Воспользуемся схемой «звезда»: \[U_{13} = Ir_1,\quad U_{23} = Ir_2,\quad U_{13} + U_{23} = U.\] Отсюда получаем \[\dfrac{U_{23}}{U_{13}} = \dfrac{3}{1}\text{ и }U_{13} = \dfrac{15}{4} = 3{,}75\text{ В},\] \[U_{23} = \dfrac{45}{4} = 11{,}25\text{ В}.\]