Камень, отскочивший от крыши

Пусть \(\vec u_0\) — вектор начальной скорости камня, \(\vec u_{\text{к}}\) — вектор скорости камня в момент его попадания в лапу мышонка. Направим ось \(Ox\) вдоль ската крыши, ось \(Oy\) перпендикулярно ей через лапу мышонка (рис. 61). Из закона сохранения энергии следует \[\dfrac{mu_0^2}{2} = \dfrac{mu_{\text{к}}^2}{2},\] откуда получим \[|\vec u_0| = |\vec u_{\text{к}}|.\qquad (1)\] Проекция вектора скорости камня на ось \(Ox\) непосредственно перед ударом о скат крыши равна проекции скорости на эту же ось сразу после удара. Тогда

\[|u_{0x}| = |u_{\text{к}x}|.\qquad (2)\] Из (1) и (2) следует что \(|u_{0y}| = |u_{\text{к}y}|\). Запишем в проекциях на оси \(Ox\) и \(Oy\) уравнения движения \[u_{0x}t + \dfrac{g_xt^2}{2} = s_x,\qquad (3)\] \[u_{0y}t + \dfrac{g_yt^2}{2} = s_y,\qquad (4)\] где \(g_x\) и \(g_y\) — проекции \(\vec g\) на соответствующие оси. По теореме Виета уравнения (3) и (4) можно преобразовать к виду \[s_x = -\dfrac{g_xt_1t_2}{2},\qquad (5)\] \[s_y = -\dfrac{g_yt_1t_2}{2}.\qquad (6)\] Тогда \(s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \dfrac{gt_1t_2}{2}\).