Пуля пробивает кубик

Найдите силу, с которой пенопласт тормозит пулю: она равна изменению импульса пули за время пролёта, делённому на это время. Такая же по модулю сила толкает кубик вверх.

Подпрыгнет: сила, с которой пуля действует на кубик, \(F\approx49\text{ Н}\) много больше веса кубика \(Mg\approx1\text{ Н}\).

Что происходит. Пуля летит вверх через пенопласт и тормозится силой сопротивления \(\vec F\). По третьему закону Ньютона пуля с такой же по модулю силой \(\vec F{}'\) толкает кубик вверх. Подставка может только подпирать кубик снизу, тянуть вниз она не умеет, поэтому кубик остаётся на месте, пока \(F'\le Mg\), и отрывается от подставки, когда \(F'>Mg\). Главная идея: найти \(F\) из изменения импульса пули за время \(\tau\) пролёта и сравнить с \(Mg\).

Обозначения. Ось \(y\) направлена вверх. \(\tau\) — время, за которое пуля проходит кубик; \(F\) — модуль силы сопротивления. Скорость пули меняется всего на \(5\%\) (со \(100\) до \(95\) м/с), поэтому считаем \(F\) постоянной.

Стрелки на рисунке не в масштабе: \(F\approx50\) Н, а \(Mg\approx1\) Н, \(mg\approx0{,}1\) Н.

1. Время пролёта. Сила постоянна, значит, ускорение пули постоянно и её скорость меняется со временем линейно (график ниже). Средняя скорость при линейном изменении равна \(\dfrac{v_1+v_2}{2}\), а путь внутри кубика равен его высоте \(a\): \[a=\frac{v_1+v_2}{2}\,\tau\quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{2a}{v_1+v_2}=\frac{0{,}2\text{ м}}{195\text{ м/с}}\approx1{,}03\cdot10^{-3}\text{ с}.\]

2. Сила сопротивления. Запишем закон изменения импульса для пули за время \(\tau\) в проекции на ось \(y\). На пулю действуют сила тяжести \(m\vec g\) и сила сопротивления \(\vec F\), обе направлены вниз: \[mv_2-mv_1=-(F+mg)\,\tau\quad\Rightarrow\quad F=\frac{m(v_1-v_2)}{\tau}-mg .\] Подставляем: \(\dfrac{m(v_1-v_2)}{\tau}=\dfrac{0{,}010\cdot5}{1{,}03\cdot10^{-3}}\text{ Н}\approx48{,}7\text{ Н}\), а \(mg\approx0{,}1\) Н — добавка почти не видна: \(F\approx49\) Н.

3. Сравнение с весом кубика. Кубик толкает вверх сила \(F'=F\approx49\) Н. Вес кубика \(Mg=0{,}1\cdot9{,}8\text{ Н}\approx1\) Н. Реакция подставки не может быть отрицательной, поэтому при \(F'>Mg\) она обращается в нуль, а кубик получает ускорение вверх \[a_{\text{к}}=\frac{F'-Mg}{M}\approx480\text{ м/с}^2 .\] За время \(\tau\) кубик приобретает скорость \(u=a_{\text{к}}\tau\approx0{,}5\) м/с. Сместиться за это время он успевает на \(u\tau/2\approx0{,}25\) мм — ничтожно мало по сравнению с \(a\), так что считать \(F\) постоянной можно.

Обратите внимание: силу \(F'\) нужно сравнивать с весом кубика \(Mg\), а не пули \(mg\): подставку поднимает именно кубик. Сила \(mg\) нужна лишь в пункте 2, и там ею можно пренебречь: \(mg\approx0{,}1\) Н против \(48{,}7\) Н.

Ответ: кубик подпрыгнет, так как \(F'=\dfrac{m(v_1-v_2)}{\tau}-mg\approx49\text{ Н}\gg Mg\approx1\text{ Н}\); сразу после пролёта пули он летит вверх со скоростью около \(0{,}5\) м/с и поднимается на \(\dfrac{u^2}{2g}\approx1\) см.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м/с}}{\text{с}}=\text{Н}\). Второй способ: закон сохранения импульса системы пуля + кубик за время \(\tau\) (силы \(Mg\) и \(mg\) за такое короткое время дают импульс около \(10^{-3}\) Н\(\cdot\)с против \(5\cdot10^{-2}\) Н\(\cdot\)с, и ими можно пренебречь): \(mv_1=mv_2+Mu\), откуда \(u=\dfrac{m(v_1-v_2)}{M}=0{,}5\) м/с — то же значение, что в пункте 3. Граница: кубик остаётся на месте при \(F'\le Mg\), то есть при потере скорости пули \(v_1-v_2\lesssim\dfrac{Mg\,\tau}{m}\approx0{,}1\) м/с; пуля теряет \(5\) м/с — в полсотни раз больше, поэтому подскок надёжный.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.