Чёрный ящик и батареи

Проверьте, можно ли обойтись одними резисторами: у такой схемы ток на выходе пропорционален току, который она берёт от источника. Если нельзя, поставьте в ящик источник и найдите его э.д.с. из условия на токи.

Один резистор или любая схема из резисторов не подходит. Простейший ящик: один идеальный источник с э.д.с. \(\mathcal{E}_1=\dfrac{2}{3}\mathcal{E}\), включённый последовательно и навстречу входной батарее; токи \(I_1=\dfrac{\mathcal{E}}{3r}\) и \(I_2=\dfrac{2\mathcal{E}}{3r}\).

Что происходит. Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, поэтому он замыкает выход ящика накоротко, и через него идёт ток, определяемый только тем, что стоит в ящике и на входе. Во втором опыте на входе две батареи: э.д.с. \(2\mathcal{E}\) и внутреннее сопротивление \(2r\). Главная идея: сначала понять, почему одни резисторы не годятся, затем взять простейший добавочный элемент — источник — и найти его э.д.с. из условия \(I_2=2I_1\).

Обозначения. \(I_1\) — ток амперметра в первом опыте, \(I_2\) — во втором, по условию \(I_2=2I_1\).

1. Ящик из одних резисторов не годится. Выход ящика замкнут накоротко амперметром. Для схемы из резисторов при такой нагрузке ток выхода пропорционален току на входе: \(I_{\text{A}}=k\,I_{\text{вх}}\), где число \(k\) зависит только от схемы ящика (сеть линейна и в ней нет источников). Ящик со стороны входа ведёт себя как один резистор \(R_{\text{вх}}\), поэтому по закону Ома для входной цепи \[I_{\text{вх},1}=\frac{\mathcal{E}}{R_{\text{вх}}+r},\qquad I_{\text{вх},2}=\frac{2\mathcal{E}}{R_{\text{вх}}+2r}.\] Условие \(I_2=2I_1\) превращается в \(\dfrac{2\mathcal{E}}{R_{\text{вх}}+2r}=\dfrac{2\mathcal{E}}{R_{\text{вх}}+r}\), то есть \(R_{\text{вх}}+2r=R_{\text{вх}}+r\), откуда \(r=0\) — а внутреннее сопротивление батареи не равно нулю. Значит, в ящике обязательно есть источник.

2. Простейшая схема с источником. Самое простое — один идеальный источник с э.д.с. \(\mathcal{E}_1\) и без сопротивления, включённый в один из проводов последовательно с входной батареей. Условимся, что \(\mathcal{E}_1>0\) означает ``помогает батарее'', \(\mathcal{E}_1<0\) — ``навстречу''. Амперметр идеальный, поэтому в контуре остаётся одно сопротивление \(r\) (внутреннее батареи).

Второй закон Кирхгофа для контура (сумма э.д.с. равна сумме падений напряжения на сопротивлениях контура) в двух опытах: \[I_1=\frac{\mathcal{E}+\mathcal{E}_1}{r},\qquad I_2=\frac{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_1}{2r}.\]

3. Условие \(I_2=2I_1\). \[\frac{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_1}{2r}=\frac{2(\mathcal{E}+\mathcal{E}_1)}{r} \;\Rightarrow\;2\mathcal{E}+\mathcal{E}_1=4\mathcal{E}+4\mathcal{E}_1 \;\Rightarrow\;\mathcal{E}_1=-\frac{2}{3}\,\mathcal{E}.\] Знак ``\(-\)'' означает, что источник включён навстречу входной батарее: его положительный полюс обращён к входу, откуда приходит ток батареи.

Обратите внимание: ящик нельзя ``подобрать'' резистором любого номинала: условие \(r\ne0\) делает \(I_2=2I_1\) невозможным для любой схемы из резисторов, и это видно сразу из пункта 1, до всяких вычислений.

Ответ: в ящике — один идеальный источник с э.д.с. \(\mathcal{E}_1=\dfrac{2}{3}\mathcal{E}\), включённый последовательно и навстречу внешней батарее, больше ничего. Если у источника есть своё сопротивление \(r_1\), то получается \(\mathcal{E}_1=\dfrac{2\mathcal{E}r}{3r+r_1}\); наименьшее число элементов — при \(r_1=0\).

Проверка. Токи: \(I_1=\dfrac{\mathcal{E}-\frac23\mathcal{E}}{r}=\dfrac{\mathcal{E}}{3r}\) и \(I_2=\dfrac{2\mathcal{E}-\frac23\mathcal{E}}{2r}=\dfrac{2\mathcal{E}}{3r}\), то есть \(I_2=2I_1\) — условие выполнено. Размерность: \(\mathcal{E}/r\) — ампер. Смысл: пока ящик не вносит источник (\(\mathcal{E}_1=0\)), \(I_1=\mathcal{E}/r\), \(I_2=\mathcal{E}/r\) — токи равны (две батареи в два раза увеличивают и э.д.с., и сопротивление). Встречный источник вычитает постоянное \(\mathcal{E}_1\) из обеих э.д.с.; на меньшую э.д.с. \(\mathcal{E}\) он влияет сильнее, чем на \(2\mathcal{E}\), поэтому именно при \(\mathcal{E}_1=-\frac23\mathcal{E}\) отношение токов становится равным \(2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.